Todennäköisyysjakaumia¶

Diskreetti tasajakauma, \(\Tasd(a, b)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [a, b] \cap \Z = \{i \in \Z : a \leq i \leq b\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = \dfrac{1}{b-a+1}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{a + b}{2}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \begin{cases}1, & \text{kun } t = 0 \\ \dfrac{1}{b - a + 1}\dfrac{e^{ta} - e^{t(b + 1)}}{1 - e^{t}}, & \text{kun } t \not= 0\end{cases}\)

Matlab, \(X\sim \Tasd(1, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   unidpdf(x,n)
   unidcdf(x,n)
   unidinv(x,n)

R, \(X\sim \Tasd(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   ddunif(x,a,b)
   pdunif(x,a,b)
   qdunif(x,a,b)

Lisätietoja:

• Englanniksi discrete uniform distribution, \(\mathrm{Unifd}(a, b)\).

• Jos otosavaruuden alkeistapahtumat ovat symmetriset (klassinen todennäköisyys), niin niistä muodostuva satunnaismuuttuja noudattaa diskreettiä tasajakaumaa.

• Esimerkiksi nopan- tai kolikonheiton tulosten todennäköisyydet saadaan diskreetistä tasajakaumasta.

• \(\Tasd(0, 1) = \Ber(0{,}5)\).

Bernoullin jakauma, \(\Ber(p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{0, 1\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = p^x(1-p)^{1-x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = p\)

Varianssi: \(\Var(X) = p(1 - p)\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = pe^t + 1 - p\)

Matlab, \(X\sim \Ber(p)=\Bin(1,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   binopdf(x,1,p)
   binocdf(x,1,p)
   binoinv(x,1,p)

R, \(X\sim \Ber(p)=\Bin(1,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dbinom(x,1,p)
   pbinom(x,1,p)
   qbinom(x,1,p)

Lisätietoja:

• Englanniksi Bernoulli distribution.

• Bernoullin jakaumaa noudattava satunnaismuuttuja \(X\) saa toisen kahdesta arvosta, jotka on koodattu luvuiksi \(0\) ja \(1\). Tapauksen \(X = 1\) (onnistuminen) todennäköisyys on \(p\) ja tapauksen \(X = 0\) (epäonnistuminen) \(1 - p\).

• Esimerkiksi syntyvän lapsen sukupuoli tai tentissä onnistuminen voidaan esittää Bernoullin jakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla.

• Bernoullin kokeella tarkoitetaan Bernoullin jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan koetta.

• \(\Ber(0{,}5) = \Tasd(0, 1)\) ja \(\Ber(p) = \Bin(1, p)\).

Binomijakauma, \(\Bin(n, p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{0, 1, 2, \ldots, n\}\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle P(X = x) = f(x) = \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = np\)

Varianssi: \(\Var(X) = np(1 - p)\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t)=(pe^t+1-p)^n\)

Matlab, \(X\sim \Bin(n,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   binopdf(x,n,p)
   binocdf(x,n,p)
   binoinv(x,n,p)

R, \(X\sim \Bin(n,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dbinom(x,n,p)
   pbinom(x,n,p)
   qbinom(x,n,p)

Lisätietoja:

• Englanniksi binomial distribution.

• \(f(x)\) kuvaa yhteensä \(x\) onnistumisen todennäköisyyttä \(n\) riippumattomassa jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavassa Bernoullin kokeessa.

• Esimerkiksi viiden klaavan saaminen 10 kolikonheiton sarjassa.

• Jos \(X_1 \sim \Bin(n, p)\) ja \(X_2 \sim \Bin(m, p)\) ovat riippumattomia, niin niiden summa \(X_1 + X_2 \sim \Bin(n + m, p)\).

• \(\Bin(1, p) = \Ber(p)\).

• \(\Bin(n, p) \approx \Poi(np)\), kun \(n\) on suuri, \(p\) pieni ja \(np \ll n\).

• \(\Bin(n, p) \approx \rN(np, np(1 - p))\), kun \(np \geq 5\) ja \(n(1 - p) \geq 5\).

Poissonin jakauma, \(\Poi(\lambda)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \N \cup \{0\} = \{0, 1, 2, \ldots\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x)=\dfrac{\lambda ^x}{x!}e^{-\lambda}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \lambda\)

Varianssi: \(\Var(X) = \lambda\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}\)

Matlab, \(X\sim \Poi(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   poisspdf(x,lambda)
   poisscdf(x,lambda)
   poissinv(x,lambda)

R, \(X\sim \Poi(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dpois(x,lambda)
   ppois(x,lambda)
   qpois(x,lambda)

Lisätietoja:

• Englanniksi Poisson distribution.

• Harvinaisten, riippumattomien ja keskimäärin vakiotahdilla esiintyvien tapahtumien todennäköisyysjakauma.

• Jos suoritetaan suuri määrä \(n\) jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavia Bernoullin kokeita ja \(p\) on pieni, niin onnistumisien lukumäärä noudattaa likimain Poissonin jakaumaa ja \(\lambda \approx np\).

• Esimerkiksi tuotantovirheiden esiintyminen tai fotonien osuminen sensorille.

• \(\Poi(np) \approx \Bin(n, p)\), kun \(n\) on suuri, \(p\) on pieni ja \(np \ll n\).

• Jos \(X_1 \sim \Poi(\lambda_1)\) ja \(X_2 \sim \Poi(\lambda_2)\) ovat riippumattomia, niin \(X_1 + X_2 \sim \Poi(\lambda_1 + \lambda_2)\).

Geometrinen jakauma, \(\Geom(p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \Z_+ = \{1, 2, 3, \ldots\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = p(1 - p)^{x - 1}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{1}{p}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\)

Matlab, \(X\sim \Geom(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa \(x\) tarkoittaa epäonnistumisten määrää ennen onnistumista, kun taas yllä \(x\) on 1. onnistumisen toistokerta.

   geopdf(x,p)
   geocdf(x,p)
   geoinv(x,p)

R, \(X\sim \Geom(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä \(x\) tarkoittaa epäonnistumisten määrää ennen onnistumista, kun taas yllä \(x\) on 1. onnistumisen toistokerta.

   dgeom(x,p)
   pgeom(x,p)
   qgeom(x,p)

Lisätietoja:

• Englanniksi geometric distribution.

• \(f(x)\) kuvaa todennäköisyyttä, että ensimmäinen onnistuminen osuu \(x\):lle yrittämälle jonossa riippumattomia jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavia Bernoullin kokeita.

• Esimerkiksi ensimmäisen klaavan saaminen seitsemännellä yrittämällä kolikonheittojen sarjassa.

Hypergeometrinen jakauma, \(\Hyperg(N, m, n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{x \in \Z : \max\{0, n - (N - m)\} \leq x \leq \min\{n, m\}\}\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle P(X = x) = f(x) = \frac{\binom{m}{x}\binom{N - m}{n - x}}{\binom{N}{n}}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{nm}{N}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \frac{nm(N - m)(N - n)}{N^3 - N}\)

Matlab, \(\Hyperg(N, m, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   hygepdf(x,N,m,n)
   hygecdf(x,N,m,n)
   hygeinv(x,N,m,n)

R, \(\Hyperg(N, m, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä parametrit esitetään toisella tavalla. Komennossa paramterit ovat (x, m, N-m, n).

   dhyper(x,m,N-m,n)
   phyper(x,m,N-m,n)
   qhyper(x,m,N-m,n)

Lisätietoja:

• Englanniksi hypergeometric distribution.

• Lähtötilanteessa joukossa on \(N\) alkiota, joista \(m\) ovat halutunlaisia ja loput eivät. Kokeessa poimitaan palauttamatta \(n\) alkion otos. \(f(x)\) kuvaa todennäköisyyttä, jolla otokseen valikoituu \(x\) kappaletta halutunlaisia alkioita.

• Esimerkiksi eri väristen pallojen poimiminen laatikosta.

• Jos \(N \gg n\), niin palauttamatta tehty otanta on likimain sama kuin palauttaen tehty otanta.

• \(\Hyperg(N, m, n) \approx \Bin\left(n, \frac{m}{N}\right)\), kun \(n \leq \frac{N}{10}\).

Jatkuva tasajakauma, \(\Tas(a, b)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [a, b]\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{a + b}{2}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \begin{cases} 1, & \text{kun } t = 0 \\ \dfrac{e^{bt} - e^{at}}{t(b - a)}, & \text{kun } t \not= 0\end{cases}\)

Matlab, \(X\sim \Tas(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   unifpdf(x,a,b)
   unifcdf(x,a,b)
   unifinv(x,a,b)

R, \(X\sim \Tas(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dunif(x,a,b)
   punif(x,a,b)
   qunif(x,a,b)

Lisätietoja:

• Englanniksi (continuous) uniform distribution, \(\mathrm{Unif}(a, b)\).

• Monissa tietokoneohjelmissa satunnaisluvulla (random number) tarkoitetaan satunnaismuuttujan \(X \sim \Tas(a, b)\) realisoitunutta arvoa. Muiden jatkuvien satunnaislukugeneraattoreiden toteutukset nojaavat jatkuvaan tasajakaumaan.

Eksponenttijakauma, \(\Exp(\lambda)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{1}{\lambda}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t},\) kun \(0 \leq t < \lambda\)

Matlab, \(X\sim \Exp(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa on käytössä toisenlainen tiheysfunktio ja parametrisointi, jolloin \(\lambda\) korvataan käänteisluvullaan \(1/\lambda\).

   exppdf(x,1/lambda)
   expcdf(x,1/lambda)
   expinv(x,1/lambda)

R, \(X\sim \Exp(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä on käytössä yllä esitelty tiheysfunktio

   dexp(x,lambda)
   pexp(x,lambda)
   qexp(x,lambda)

Lisätietoja:

• Englanniksi exponential distribution.

• Geometrisen jakauman jatkuva vastine.

• Unohtuvaisuusominaisuus (memorylessness): jos \(X \sim \Exp(\lambda)\), niin

  \[P(X > x_1 + x_2 \mid X > x_1) = P(X > x_2).\]

• Esimerkiksi elektronisen komponentin ikä.

Normaalijakauma, \(\rN(\mu, \sigma^2)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \R\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \mu\)

Varianssi: \(\Var(X) = \sigma^2\)

Momentit generoiva funktio: \(\displaystyle M(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}t^2\sigma^2}\)

Matlab, \(\rN(mu, sd^2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa toinen parametri on keskihajonta.

   normpdf(x,mu,sd)
   normcdf(x,mu,sd)
   norminv(x,mu,sd)

R, \(\rN(mu, sd^2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä toinen parametri on keskihajonta.

   dnorm(x,mu,sd)
   pnorm(x,mu,sd)
   qnorm(x,mu,sd)

Lisätietoja:

• Englanniksi normal distribution tai Gaussian distribution.

• Jos \(X \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), niin \(aX + b \sim \rN(a\mu + b, a^2\sigma^2)\).

• Jos \(X_1 \sim \rN(\mu_1, \sigma_1^2)\) ja \(X_2 \sim \rN(\mu_2, \sigma_2^2)\) ovat riippumattomia, niin

  \[X_1 + X_2 \sim \rN(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).\]

• Keskeisen raja-arvolauseen perusteella usean satunnaismuuttujan summa (ja täten myös otoskeskiarvo) on likimain normaalisti jakautunut riippumatta niiden alkuperäisistä jakaumista.

• \(\rN(np, np(1 - p)) \approx \Bin(n, p)\), kun \(np \geq 5\) ja \(n(1 - p) \geq 5\).

• Jos \(Z_i \sim \rN(0, 1)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin \(\sum\limits_{i = 1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)\).

\(\chi^2\)-jakauma, \(\chi^2(n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = n\)

Varianssi: \(\Var(X) = 2n\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = (1 - 2t)^{-\frac{n}{2}}\), kun \(t < \frac{1}{2}\)

Matlab, \(\chi^2(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   chi2pdf(x,n)
   chi2cdf(x,n)
   chi2inv(x,n)

R, \(\chi^2(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dchisq(x,n)
   pchisq(x,n)
   qchisq(x,n)

Lisätietoja:

• Englanniksi chi-squared distribution.

• Jos \(X \sim \chi^2(n)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\chi^2\)-jakautunut vapausastein \(n\) (degrees of freedom, df).

• Jos \(Z_i \sim \rN(0, 1)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin \(\sum\limits_{i = 1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)\).

• Jos \(X_i \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin

  \[\dfrac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1).\]

Studentin \(t\)-jakauma, \(t(n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \R\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{n\pi}}\dfrac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\dfrac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = 0\), kun \(n > 1\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{n}{n - 2}\), kun \(n > 2\)

Matlab, \(t(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   tpdf(x,n)
   tcdf(x,n)
   tinv(x,n)

R, \(t(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dt(x,n)
   pt(x,n)
   qt(x,n)

Lisätietoja:

• Englanniksi Student’s \(t\)-distribution.

• Jos \(X \sim t(n)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\tdist\)-jakautunut vapausastein \(n\) (degrees of freedom, df).

• \(t\)-jakauma lähestyy standardinormaalijakaumaa \(\rN(0, 1)\), kun \(n\) kasvaa rajatta.

• Jos \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) on otos muuttujasta \(X \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), niin

  \[\frac{\overline{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1).\]

\(\rF\)-jakauma, \(\rF(n_1, n_2)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}\left(\dfrac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}x^{\frac{n_1 - 2}{2}}\left(1 + \dfrac{n_1}{n_2}x\right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{n_2}{n_2 - 2}\), kun \(n_2 > 2\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{2n_2^2(n_1 + n_2 - 2)}{n_1(n_2 - 2)^2(n_2 - 4)}\), kun \(n_2 > 4\)

Matlab, \(\rF(n1, n2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   fpdf(x,n1,n2)
   fcdf(x,n1,n2)
   finv(x,n1,n2)

R, \(\rF(n1, n2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   df(x,n1,n2)
   pf(x,n1,n2)
   qf(x,n1,n2)

Lisätietoja:

• Englanniksi \(\rF\)-distribution. Myös Fisherin jakauma tai Snedecorin jakauma.

• Jos \(X \sim \rF(n_1, n_2)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\rF\)-jakautunut vapausastein \(n_1\) ja \(n_2\) (degrees of freedom, df).

• Jos \(X_1 \sim \chi^2(n_1)\) ja \(X_2 \sim \chi^2(n_2)\), niin

  \[F = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} \sim \rF(n_1, n_2)\qquad\text{ja}\qquad \frac{1}{F} \sim \rF(n_2, n_1).\]