\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Lokaalien ääriarvojen laatu¶

Aiemmin todettiin, että differentioituvan funktion \(f\colon\R^n\to\R\) ääriarvopisteet löytyvät kriittisten pisteiden joukosta. Haetaan menetelmä kriittisen pisteen laadun (maksimipiste, minimipiste vai satulapiste) selvittämiseksi. Kerrataan ensin neliömuodon käyttäytymisen yhteys ominaisarvoihin opintojaksolta Vektorit ja matriisit (ks. [poole]).

Lause 6.3.1

Olkoon \(A_{n\times n}\) symmetrinen matriisi. Vastaavalle neliömuodolle \(f(\bx)=\bx^TA\bx\) pätee:

\(f(\bx)>0\) kaikilla \(\bx\ne\bo\) (ts. \(f\) on positiivisesti definiitti)

\(\Leftrightarrow\) \(A\):n ominaisarvot ovat positiivisia,
\(f(\bx)<0\) kaikilla \(\bx\ne\bo\) (ts. \(f\) on negatiivisesti definiitti)

\(\Leftrightarrow\) \(A\):n ominaisarvot ovat negatiivisia,
\(f\) saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja (ts. \(f\) on indefiniitti)

\(\Leftrightarrow\) \(A\):lla on sekä positiivisia että negatiivisia ominaisarvoja.

Lause 6.3.2

Olkoot funktion \(f\colon\R^n\to\R\) kaikki kolmannen kertaluvun osittaisderivaatat jatkuvia kriittisen pisteen \(\ba\in\R^n\) ympäristössä.

Jos \(H_f(\ba)\):n kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, niin \(\ba\) on lokaali minimipiste.
Jos \(H_f(\ba)\):n kaikki ominaisarvot ovat negatiivisia, niin \(\ba\) on lokaali maksimipiste.
Jos \(H_f(\ba)\):lla on sekä positiivisia että negatiivisia ominaisarvoja, niin \(\ba\) on satulapiste.

Semidefiniiteissä tapauksissa (jokin ominaisarvo on nolla ja muut ei-negatiivisia tai ei-positiivisia) kriittisen pisteen laatu jää avoimeksi.

Piilota/näytä todistus

\(\ba\) on kriittinen piste, eli \(f'(\ba)=\bo\), joten lauseen 4.2.4 mukaan

\[f(\ba+\bh)\approx f(\ba)+\frac12 g(\bh), \quad\text{missä}\quad g(\bh)=\bh^TH_f(\ba)\bh,\]

kun \(\|\bh\|\) on pieni. Tässä merkintä \(\approx\) tarkoittaa, että virhetermi \(\epsilon(\bh)\|\bh\|^2\) on oletettu nollaksi ja unohdettu (tämän tarkempi pohdinta sivuutetaan, ks. esim. [apostol2]). \(g(\bh)=\bh^TH_f(\ba)\bh\) on muuttujan \(\bh\) neliömuoto, jonka matriisi on \(H_f(\ba)\).

Jos \(H_f(\ba)\):n kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, niin lauseen 6.3.1 mukaan \(g(\bh)>0\) kaikilla \(\bh\ne\bo\). Siten \(f(\ba+\bh)\gtrsim f(\ba)\) kaikilla \(\bh\ne\bo\), kun \(\|\bh\|\) on pieni, joten \(\ba\) on \(f\):n lokaali minimipiste.

Negatiivisten ja erimerkkisten ominaisarvojen tapaukset vastaavasti.

Lausetta 6.3.2 käytettäessä on selvitettävä Hessen matriisin ominaisarvot. Lauseen avulla voidaan johtaa seuraavat determinanttikeinot kahden muuttujan funktioille (lause 1.3) ja yleisesti \(n\):n muuttujan funktiolle (lause 1.5), joita käytettäessä vältytään ominaisarvojen laskemiselta.

Lause 6.3.3

Olkoot funktion \(f(x,y)\) kaikki kolmannen kertaluvun osittaisderivaatat jatkuvia kriittisen pisteen \((a,b)\) ympäristössä. Merkitään \(A=D_xD_xf(a,b)\), \(B=D_xD_yf(a,b)=D_yD_xf(a,b)\) ja \(C=D_yD_yf(a,b)\) sekä

\[\begin{aligned} \Delta=\det(H_f(a,b))=AC-B^2. \end{aligned}\]

Tällöin

\(f(a,b)\) on lokaali minimi, jos \(A>0\) ja \(\Delta>0\),
\(f(a,b)\) on lokaali maksimi, jos \(A<0\) ja \(\Delta>0\),
\((a,b)\) on satulapiste, jos \(\Delta<0\).

Tapauksessa \(\Delta=0\) mikä tahansa em. vaihtoehdoista voi toteutua.

Piilota/näytä todistus

Hessen matriisin

\[\begin{split}H_f(a,b)=\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}\end{split}\]

karakteristinen yhtälö on

\[p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(A-\lambda)(C-\lambda)-B^2=\lambda^2-(A+C)\lambda+\Delta=0.\]

Ominaisarvot ovat siten

\[\lambda_{1,2}=\frac{A+C\pm\sqrt{(A+C)^2-4\Delta}}{2}.\]

\(H_f(a,b)\) on symmetrinen matriisi, joten ominaisarvot ovat reaalisia ja siten \((A+C)^2-4\Delta\ge0\). Tarkastellaan tapaukset \(\Delta>0\), \(\Delta<0\) ja \(\Delta=0\).

\(\Delta>0\): Täytyy olla \(AC>0\), joten \(A\) ja \(C\) ovat samanmerkkisiä. Lisäksi

\[\sqrt{(A+C)^2-4\Delta}<\sqrt{(A+C)^2}=|A+C|.\]

Siten jos \(A>0\), niin \(C>0\) ja ominaisarvot ovat positiivisia, jolloin lauseen 6.3.2 mukaan \((a,b)\) on lokaali minimipiste. Jos taas \(A<0\), niin \(C<0\) ja ominaisarvot ovat negatiivisia, jolloin lauseen 6.3.2 mukaan \((a,b)\) on lokaali maksimipiste.

\(\Delta<0\):

\[\sqrt{(A+C)^2-4\Delta}>\sqrt{(A+C)^2}=|A+C|,\]

joten ominaisarvot ovat erimerkkiset, jolloin lauseen 6.3.2 mukaan \((a,b)\) on satulapiste.

\(\Delta=0\): Tarkastellaan funktioita \(f(x,y)=x^4+y^4\), \(g(x,y)=-x^4-y^4\) ja \(h(x,y)=x^4-y^4\) pisteessä \((a,b)=(0,0)\). Näille kaikille \(\Delta=0\) ja \(f\):llä on origossa lokaali minimi, \(g\):llä lokaali maksimi ja \(h\):lla satulapiste.

Esimerkki 6.3.4

Etsi ja luokittele funktion \(f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2\) kriittiset pisteet.

Piilota/näytä ratkaisu

Kriittiset pisteet:

\[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x}&=6x^2-6y=0 && \Leftrightarrow\ x^2=y\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}&=-6x+6y=0 && \Leftrightarrow\ x=y \end{aligned}\right.\end{split}\]

Täytyy olla \(x^2=x\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\) tai \(x=1\), joten kriittiset pisteet ovat \((0,0)\) ja \((1,1)\). Lauseen 6.3.3 merkinnöin \(A=D_xD_xf=12x\), \(B=D_yD_xf=-6\) ja \(C=D_yD_yf=6\), joten \(\Delta=72x-36\).

\[\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|l|} \hline \text{Kp} & A & \Delta & \text{Laatu}\\ \hline (0,0) & 0 & -36<0 & \text{satulapiste}\\ (1,1) & 12>0 & 36>0 & \text{lokaali minimipiste}\\ \hline \end{array}\end{split}\]

Olkoon \(A=[a_{ij}]\) \(n\times n\)-matriisi. Merkitään \(A\):n vasemman yläkulman alideterminantteja seuraavasti:

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta_1=a_{11},\ \Delta_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},\ \Delta_3=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix},\ \ldots\ ,\ \Delta_n=|A|. \end{aligned}\end{split}\]

Lause 6.3.5

Olkoot funktion \(f\colon\R^n\to\R\) kaikki kolmannen kertaluvun osittaisderivaatat jatkuvia kriittisen pisteen \(\ba\in\R^n\) ympäristössä. Olkoot \(\Delta_k\):t Hessen matriisin \(H_f(\ba)\) alideterminantteja ja oletetaan, että \(\Delta_n\ne0\). Tällöin

\(f(\ba)\) on lokaali minimi, jos \(\Delta_k>0\) jokaisella \(k=1,2,\ldots,n\),
\(f(\ba)\) on lokaali maksimi, jos \((-1)^k\Delta_k>0\) jokaisella \(k=1,2,\ldots,n\) (ts. \(\Delta_k\):lla on merkit \(-,+,-,\ldots\)).
Muutoin \(\ba\) on satulapiste.

Tapauksessa \(\Delta_n=0\) mikä tahansa em. vaihtoehdoista voi toteutua.

Esimerkki 6.3.6

Osoita, että \((0,0,0)\) on funktion \(f(x,y,z)=xz+2yz-3x^2-4y^2-5z^2\) kriittinen piste ja selvitä, onko \((0,0,0)\) lokaali minimipiste, lokaali maksimipiste vai satulapiste.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska

\[\dfrac{\partial f}{\partial x}=z-6x,\quad \dfrac{\partial f}{\partial y}=2z-8y\quad\text{ja}\quad \dfrac{\partial f}{\partial z}=x+2y-10z,\]

niin kaikki osittaisderivaatat häviävät origossa, joten se on kriittinen piste. Lisäksi

\[\begin{split}H_f(x,y,z)=\begin{bmatrix}-6 & 0 & 1\\0 & -8 & 2\\1 & 2 & -10\end{bmatrix},\end{split}\]

joten \(\Delta_1=-6<0\),

\[\begin{split}\Delta_2=\begin{vmatrix}-6 & 0\\0 & -8\end{vmatrix}=48>0 \quad\text{ja}\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}-6 & 0 & 1\\0 & -8 & 2\\1 & 2 & -10\end{vmatrix}=-448<0.\end{split}\]

Niinpä \((0,0,0)\) on lauseen 6.3.5 mukaan lokaali maksimipiste.