\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Usean muuttujan funktio¶
Tällä opintojaksolla tarkastellaan funktioita \(f\colon\R^n\to\R^m\). Funktion \(f\) sanotaan olevan
yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio (reaalifunktio), jos \(n=m=1\),
yhden muuttujan funktio, jos \(n=1\),
usean muuttujan funktio, jos \(n>1\),
reaaliarvoinen funktio, jos \(m=1\), ja
vektoriarvoinen funktio, jos \(m>1\).
Esimerkki 1.2.1
a) \(f(x)=1-x^2\) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio. Määrittelyjoukko on \(\R\) ja maalijoukko \(\R\), ts. \(f\colon\R\to\R\).
b) \(f\colon\R\to\R^2\), \(f(x)=(x,\,2x+1)\) on yhden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
c) \(f\colon\R^2\to\R\), \(f(x,y)=x^2+y-1\) on kahden muuttujan reaaliarvoinen funktio.
d) \(f\colon\R^2\to\R^3\), \(f(x,y)=(x^2,\, xy-1,\,3y)\) on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio.
Palautusta lähetetään...
Identtinen palautus
Tämä palautus on identtinen aikaisemman palautuksen kanssa. Oletko varma, että haluat lähettää palautuksen?