\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Osittaisderivaatat
Kahden muuttujan funktiot
Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle \(f\colon\R\to\R\) derivaatta pisteessä \(a\) määritellään erotusosamäärän raja-arvona
\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]
Derivaatta antaa \(f\):n hetkellisen muutosnopeuden pisteessä \(a\). Vastaavalla tavoin voidaan tutkia kahden (ja usemman) muuttujan reaaliarvoisen funktion \(f(x,y)\) muutosnopeutta pisteessä \((a,b)\). Yhden muuttujan tapauksessa muutosnopeutta voidaan tutkia vain ainoan muuttujan \(x\) suunnassa, kahden ja useamman muuttujan tapauksessa tutkittavia suuntia on sen sijaan äärettömän monta. Aloitetaan tutkimalla muutosnopeuksia \(x\)-ja \(y\)-akselien suuntaisesti siirryttäessä.
\(\partial\) luetaan ”doo” ja esimerkiksi \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ”doo f doo x”. Muita kirjoissa tyypillisesti käytettäviä merkintöjä osittaisderivaatoille:
\[\begin{split}\begin{aligned}
&\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=f_1(x,y)=D_xf(x,y)=D_1f(x,y)\\[10pt]
&\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=f_2(x,y)=D_yf(x,y)=D_2f(x,y)
\end{aligned}\end{split}\]
Geometrisesti \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) ilmaisee pinnan \(z=f(x,y)\) ja tason \(y=b\) leikkauskäyrän \(z=f(x,b)\) tangenttisuoran kulmakertoimen pisteessä \((a,b,f(a,b))\).
Vastaavasti \(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\) on käyrän \(z=f(a,y)\) tangenttisuoran kulmakerroin. \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) on siis funktion \(f\) hetkellinen muutosnopeus \(x\)-suunnassa ja \(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\) on hetkellinen muutosnopeus \(y\)-suunnassa pisteessä \((a,b)\).
Huomautus 3.3.2
Jos merkitään \(g(x)=f(x,b)\), niin
\[\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)
=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}
=g'(a)
\end{aligned}\]
(ja vastaavalla tavoin \(y\):n suhteen). Osittaisderivointi palautuu siten yhden muuttujan funktion derivoinniksi, jossa derivoidaan halutun muuttujan suhteen ja pidetään toista muuttujaa vakiona.
Esimerkki 3.3.3
Olkoon \(f(x,y)=x^2+2xy^2-y^3\). \(f\):n osittaisderivaatat ovat
\[\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y^2\qquad\text{ja}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4xy-3y^2
\end{aligned}\]
ja siten esimerkiksi
\[\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=4\qquad\text{ja}\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=-7.
\end{aligned}\]
Oletetaan, että \(f(x,y)\) ilmaisee lämpötilan (\(^\circ\)C) pisteessä \((x,y)\) (m). Lämpötilan hetkellinen muutosnopeus siirryttäessä pisteestä \((1,-1)\)
\[\begin{split}\begin{aligned}
\text{itään: }&4\ ^\circ\text{C/m}\\
\text{länteen: }&-4\ ^\circ\text{C/m}\\
\text{pohjoiseen: }&-7\ ^\circ\text{C/m}\\
\text{etelään: }&7\ ^\circ\text{C/m}
\end{aligned}\end{split}\]
Usein merkitään lyhyesti \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\).
Esimerkki 3.3.4
Laske \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) ja \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\), kun \(f(x,y)=e^{xy}\sin x\).
Piilota/näytä ratkaisu
\[\begin{split}\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}&=D_x(e^{xy})\sin x+e^{xy}D_x(\sin x)=ye^{xy}\sin x+e^{xy}\cos x\\[10pt]
\frac{\partial f}{\partial y}&=xe^{xy}\sin x
\end{aligned}\end{split}\]
Tangenttitaso
Derivoituvan yhden muuttujan reaaliarvoisen funktion \(f\) kuvaajan \(y=f(x)\) pisteeseen \((a,f(a))\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö on
(1)\[y=f(a)+f'(a)(x-a).\]
Tarkastellaan kahden muuttujan funktion \(f\) kuvaajaa \(z=f(x,y)\). \(x\)- ja \(y\)-suunnissa käyrien \(z=f(x,b)\) ja \(z=f(a,y)\) pisteeseen \(\bp=(a,b,f(a,b))\) piirrettyjen tangenttisuorien yhtälöt ovat (1):n nojalla
\[\begin{split}\begin{aligned}
z&=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)\quad\text{ja}\\
z&=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).
\end{aligned}\end{split}\]
Koska pisteen \(\bp\) kautta kulkevan (ei-pystysuoran) tason yhtälö on muotoa
\[z=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b),\]
niin em. tangenttisuorat sisältävän (eli tangenttisuorien virittämän) tason yhtälö on
(2)\[\boxed{z=f(a,b)
+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)
+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).}\]
Jos pinta on ”riittävän siisti” (tämä määritellään tarkemmin luvussa :ref:` 4) <subsec-linappr>` pisteen \(\bp\) ympäristössä, niin tätä tasoa kutsutaan pinnan \(z=f(x,y)\) tangenttitasoksi (tangent plane) pisteessä \(\bp\).
Annetaan yhtälölle (2) myös seuraava geometrisempi perustelu. Em. käyrillä on pisteessä \(\bp\) tangenttivektorit
\[\begin{aligned}
\bu=\Big(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\Big)\quad\text{ja}\quad
\bv=\Big(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\Big),
\end{aligned}\]
joten tangenttitason normaalivektoriksi saadaan
\[\bn=\bu\times\bv=\Big(-\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),-\frac{\partial f}{\partial y}(a,b),1\Big).\]
Niinpä tangenttitason normaalimuotoinen yhtälö \(\bn\piste\bx=\bn\piste\bp\) tulee muotoon
\[\begin{split}\begin{aligned}
\bn\piste(x,y,z)&=\bn\piste(a,b,f(a,b))\\[10pt]
\Leftrightarrow\ -\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)x-\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)y+z&=-\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)a-\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)b+f(a,b),
\end{aligned}\end{split}\]
josta (2) seuraa.
Esimerkki 3.3.5
Laske pinnan \(z=\dfrac{x-y}{x+y}\) pisteeseen \((1,2,-1/3)\) piirretyn tangenttitason yhtälö.
Piilota/näytä ratkaisu
Pinta on funktion \(f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}\) kuvaaja.
\[\begin{split}\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\frac{1\cdot(x+y)-(x-y)\cdot1}{(x+y)^2}=\frac{2y}{(x+y)^2}&&\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac49\\
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\frac{(-1)\cdot(x+y)-(x-y)\cdot1}{(x+y)^2}=\frac{-2x}{(x+y)^2}&&\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=-\frac29
\end{aligned}\end{split}\]
Koska \(f(1,2)=-1/3\), niin tangenttitason yhtälöksi saadaan
\[z=-\frac13+\frac49(x-1)-\frac29(y-2)\quad\Leftrightarrow\quad4x-2y-9z=3.\]
Kolmen ja useamman muuttujan funktiot
Yleistetään osittaisderivaatan määritelmä myös kolmen ja useamman muuttujan funktioille.
Tässä \(\be_i\) on \(i\):s standardikantavektori, jonka \(i\):s komponentti on \(1\) ja muut komponentit ovat nollia.
Jos \(f\):n määrittelyjoukko on vain osajoukko \(D\subset\R^n\) ja \(\bx\in D\), niin voi olla, että piste \(\bx+h\be_i\) ei ole joukossa \(D\) eikä \(f\):n arvoa tässä pisteessä voida laskea.
Jatkossa osittaisderivaatoista puhuttaessa oletamme, että \(\bx\) on määrittelyjoukon \(D\) sisäpiste, jolloin määritelmän erotusosamäärät ovat aina määriteltyjä pienillä \(h\).
Useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat lasketaan samaan tapaan kuin kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat.
Esimerkki 3.3.8
a) Funktion \(f(x,y,z)=\ln\left(1+xe^{yz}\right)\) osittaisderivaatat ovat
\[\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{e^{yz}}{1+xe^{yz}},\quad
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{xze^{yz}}{1+xe^{yz}}\quad\text{ja}\quad
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{xye^{yz}}{1+xe^{yz}}.
\end{aligned}\]
b) Funktion \(z=u^2v^3w^4\) osittaisderivaatat ovat
\[\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial u}=2uv^3w^4,\quad
\frac{\partial z}{\partial v}=3u^2v^2w^4\quad\text{ja}\quad
\frac{\partial z}{\partial w}=4u^2v^3w^3.
\end{aligned}\]
Korkeammat osittaisderivaatat
Tarkastellaan seuraavassa osittaisderivaattaa \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bx)\) muuttujan \(\bx\) funktiona. Tätä funktiota voidaan edelleen osittaisderivoida.
Muita merkintöjä:
\[\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}
=(f_{x_i})_{x_j}=f_{x_ix_j}=f_{ij}=D_jD_if.\]
Merkinnässä \(f_{x_ix_j}\) (osittaisderivointi ensin \(x_i\):n suhteen, sitten \(x_j\):n suhteen) alaindeksejä luetaan siis vasemmalta oikealle. Merkinnässä \(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}\) ajatellaan, että operaattori \(\frac{\partial^2}{\partial x_j\,\partial x_i}\) operoi \(f\):ään ensin osittaisderivoimalla \(x_i\):n suhteen, sitten \(x_j\):n suhteen. Tapauksessa \(i=j\) voidaan merkitä
\[\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_i}
=\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}.\]
Vastaavalla tavoin voidaan tarkastella kolmannen kertaluvun osittaisderivaattoja
\[\begin{aligned}
\frac{\partial^3f}{\partial x_k\,\partial x_j\,\partial x_i}
\end{aligned}\]
ja yleisesti \(m\):nnen kertaluvun osittaisderivaattoja.
Huomautus 3.3.10
Kahden muuttujan funktion \(f(x,y)\) kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat
\[\begin{aligned}
\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}\quad\text{ja}\quad
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}.
\end{aligned}\]
Kolmen muuttujan funktiolla \(f(x,y,z)\) on yhteensä yhdeksän toisen kertaluvun osittaisderivaattaa:
\[\begin{aligned}
\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\
\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\
\frac{\partial^2f}{\partial z^2},\
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y},\
\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},\
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial z},\
\frac{\partial^2f}{\partial z\,\partial x},\
\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial z}\text{ ja }
\frac{\partial^2f}{\partial z\,\partial y}.
\end{aligned}\]
Esimerkki 3.3.11
Laske funktion \(f(x,y)=x^2+xy^2\) toisen kertaluvun osittaisderivaatat.
Piilota/näytä ratkaisu
\[\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^2\quad\text{ja}\quad
\frac{\partial f}{\partial y}=2xy,\]
joten
\[\begin{split}\begin{aligned}
\frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x+y^2\right)=2\\[10pt]
\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x+y^2\right)=2y\\[10pt]
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y\\[10pt]
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}&=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x
\end{aligned}\end{split}\]
Seuraavan lauseen mukaan tietyissä tapauksissa osittaisderivaatat \(f_{x_ix_j}\) ja \(f_{x_jx_i}\) ovat yhtäsuuret, jolloin riittää laskea vain toinen.
Lause 3.3.12 (Osittaisderivoinnin vaihtosääntö)
Oletetaan, että funktiolla \(f\) on osittaisderivaatat \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\), \(\frac{\partial f}{\partial x_j}\) ja \(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}\) jossakin pisteen \(\bx\) ympäristössä. Oletetaan lisäksi, että osittaisderivaatta \(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}\) on jatkuva pisteen \(\bx\) ympäristössä. Silloin myös osittaisderivaatta \(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(\bx)\) on olemassa ja
\[\begin{aligned}
\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}(\bx)=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(\bx).
\end{aligned}\]
Jos kolmen muuttujan funktion \(f(x,y,z)\) toisen kertaluvun yhdeksän osittaisderivaattaa (ks. huomautus 3.3.10) ovat jatkuvia, niin vaihtosäännön mukaan erisuuria niistä ovat (korkeintaan) vain
\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial y^2},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial z^2},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y},\quad
\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial z}\quad\text{ja}\quad
\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial z}.\]
Esimerkki 3.3.13
Laske kolmannen kertaluvun osittaisderivaatat
\[f_{zxx}=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\,\partial z},\quad f_{xzx}=\dfrac{\partial^3f}{\partial x\,\partial z\,\partial x}\quad\text{ja}\quad
f_{xxz}=\dfrac{\partial^3f}{\partial z\,\partial x^2}\]
funktiolle \(f(x,y,z)=e^{2x-yz}\).
Piilota/näytä ratkaisu
Lasketaan \(f_{zxx}\):
\[\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\,\partial z}=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\left(-ye^{2x-yz}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(-2ye^{2x-yz}\right)=-4ye^{2x-yz}.\]
Koska tämä on jatkuva funktio, niin vaihtosäännön mukaan \(f_{zxx}=f_{xzx}=f_{xxz}=-4ye^{2x-yz}\).