\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Raja-arvo ja jatkuvuus

Kertauksena vektorilaskennasta: vektorin \(\bx=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\) pituus on

\[\|\bx\|=\sqrt{\bx\piste\bx}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.\]

Jos vektori kirjoitetaan \(n\times1\) -matriisina

\[\begin{split}\bx=\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix},\end{split}\]

niin pistetulo edellä voidaan kirjoittaa matriisitulona: \(\|\bx\|=\sqrt{\bx^T\bx}\).

Vektoreiden (pisteiden) \(\bx=(x_1,\ldots,x_n)\) ja \(\ba=(a_1,\ldots,a_n)\) välinen etäisyys on

\[\|\bx-\ba\|=\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2}.\]

Siten joukko \(\{\bx\in\R^n:\ \|\bx-\ba\|=r\}\) (\(r>0\)) koostuu niistä \(\R^n\):n pisteistä \(\bx\), joiden etäisyys \(\ba\):sta on \(r\).

../_images/veketaisyys.svg

Pallot ja kiekot

Olkoon \(\ba\in\R^n\) ja \(r>0\). \(\ba\)-keskinen \(r\)-säteinen avoin pallo (open ball) eli \(\ba\):n palloympäristö (neighborhood), merkitään \(B(\ba,r)\), on niiden pisteiden \(\bx\in\R^n\) joukko, joiden etäisyys keskipisteestä \(\ba\) on pienempi kuin \(r\), ts.

\[B(\ba,r)=\{\bx\in\R^n:\ \|\bx-\ba\|<r\}.\]

Suljettu pallo (closed ball) on joukko, jossa pallon reuna on mukana:

\[\overline{B}(\ba,r)=\{\bx\in\R^n:\ \|\bx-\ba\|\le r\}.\]

Poistamalla avoimesta pallosta keskipiste saadaan pisteen \(\ba\) punkteerattu ympäristö \(B(\ba,r)\setminus\{\ba\}\). Tasossa (\(n=2\)) pallosta voidaan käyttää nimitystä kiekko.

../_images/pallo1.svg

\(\R^2\):ssa voidaan merkitä \(\bx=(x,y)\) ja \(\ba=(a,b)\), jolloin

\[B(\ba,r)=\{(x,y)\in\R^2:\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<r\}\]

ja \(\R^3\):ssa \(\bx=(x,y,z)\) ja \(\ba=(a,b,c)\), jolloin

\[B(\ba,r)=\{(x,y,z)\in\R^3:\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<r\}.\]

Raja-arvo

Muistetaan, että yhden muuttujan reaaliarvoisella funktiolla \(f(x)\) on raja-arvo \(L\) pisteessä \(a\), jos jokaisella \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että

\[\begin{aligned} 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon. \end{aligned}\]

Tämän määritelmän yleistäminen useamman muuttujan funktioille on suoraviivaista: määrittelyjoukon itseisarvo \(|x-a|\) korvataan normilla \(\|\bx-\ba\|\).

Määritelmä 3.2.1

Olkoon \(f\colon\R^n\to\R\) reaaliarvoinen funktio. Tällöin funktiolla \(f\) on raja-arvo (limit) \(L\in\R\) pisteessä \(\ba\in\R^n\), merkitään

\[L=\lim_{\bx\to\ba}f(\bx)\qquad\text{tai}\qquad f(\bx)\to L,\text{ kun }\bx\to\ba,\]

jos jokaisella \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että

(1)\[0<\|\bx-\ba\|<\delta\Rightarrow|f(\bx)-L|<\epsilon.\]

Määritelmän ehto (1) tarkoittaa, että \(\ba\)-keskinen \(\delta\)-säteinen punkteerattu pallo kuvautuu \(L\)-keskiselle \(\epsilon\)-säteiselle välille, ts.

\[f(B(\ba,\delta)\setminus\{\ba\})\subset(L-\epsilon,L+\epsilon).\]

Kaaviokuva tapauksesta \(n=2\):

../_images/pallo2.svg

Määritelmän 3.2.1 ehtoa tutkitaan usein seuraavassa muodossa:

Lause 3.2.2

\(\displaystyle L=\lim_{\bx\to\ba}f(\bx)\quad\text{jos ja vain jos}\quad\lim_{\bx\to\ba}|f(\bx)-L|=0\).

Piilota/näytä todistus

”\(\Leftarrow\)” Oletetaan, että funktiolla \(g\colon\R^n\to\R,\ g(\bx)=|f(\bx)-L|\), on raja-arvo \(0\) pisteessä \(\ba\). Olkoon \(\epsilon>0\). Silloin on olemassa \(\delta>0\) siten, että

\[0<\|\bx-\ba\|<\delta\Rightarrow|g(\bx)-0|<\epsilon.\]

Koska \(|g(\bx)-0|=||f(\bx)-L|-0|=|f(\bx)-L|\), on \(f\):llä raja-arvo \(L\) pisteessä \(\ba\). Toinen suunta vastaavasti.

Raja-arvon määritelmässä ei vaadita, että \(f\) olisi määritelty pisteessä \(\ba\). Voidaan esimerkiksi tutkia, onko funktiolla

\[f(x,y,z)=\frac{xy^2z}{x^2+z^2}\]

raja-arvoa pisteessä \(\ba=(0,0,0)\). Raja-arvon määritelmä on kuitenkin mielekäs vain sellaisille \(\ba\), joille kaikilla (mielivaltaisen pienillä) \(\delta>0\) on olemassa ehdon \(0<\|\bx-\ba\|<\delta\) toteuttavia \(f\):n määrittelyjoukon \(D\subset\R^n\) pisteitä \(\bx\). Esimerkiksi ei ole mielekästä kysyä, onko funktiolla

\[f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2-1)\]

raja-arvoa pisteessä \(\ba=(0,0,0)\), sillä \(f\) ei ole määritelty yksikköpallossa \(\overline{B}((0,0,0),1)\). Edellä kuvatun ehdon täyttävää pistettä \(\ba\) sanotaan \(D\):n kasautumispisteeksi:

Määritelmä 3.2.3

Olkoon \(D\subset\R^n\). Piste \(\ba\in\R^n\) on joukon \(D\) kasautumispiste (limit point, accumulation point), jos jokaisessa \(\ba\):n punkteeratussa ympäristössä \(B(\ba,r)\setminus\{\ba\}\) on \(D\):n pisteitä, ts. \((B(\ba,r)\setminus\{\ba\})\cap D\ne\emptyset\) kaikilla \(r>0\).

Lemma 3.2.4

Olkoon \(\ba\in\R^n\) ja merkitään \(\bx=(x_1,\ldots,x_n)\) ja \(\ba=(a_1,\ldots,a_n)\). Tällöin \(x_i\to a_i\), kun \(\bx\to\ba\).

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(\epsilon>0\). Väitetään, että funktion \(f(\bx)=x_i\) raja-arvo pisteessä \(\ba\) on \(L=a_i\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} |f(\bx)-L| &=|x_i-a_i| =\sqrt{(x_i-a_i)^2} \le\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2}\\ &=\|\bx-\ba\|<\epsilon, \end{aligned}\end{split}\]

kun määritelmässä 3.2.1 valitaan \(\delta=\epsilon\).

Lause 3.2.5

Jos \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}f(\bx)=L}\) ja \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}g(\bx)=M}\), niin

  1. \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}\big(f(\bx)\pm g(\bx)\big)=L\pm M}\),

  2. \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}\big(f(\bx)g(\bx)\big)=LM}\),

  3. \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}\frac{f(\bx)}{g(\bx)}=\frac{L}{M}},\quad\) jos \(M\ne0\).

Jos lisäksi \(F\colon\R\to\R\) on jatkuva pisteessä \(L\), niin

  1. \(\displaystyle{\lim_{\bx\to\ba}F(f(\bx))=F(L)}\).

Piilota/näytä todistus

Todistukset ovat oleellisesti samat kuin yhden muuttujan funktioille (ks. Plussa: APK, Lause 4.2.5 (4-6) ja (8)), kun korvataan \(|x-a|\) normilla \(\|\bx-\ba\|\).

Esimerkki 3.2.6

a) \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,\pi/3)}x\sin\left(\frac{y}{x}\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=1\)

b) \(\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(-3,1,2)}\frac{2x-yz^2}{\sqrt{2z}}=\frac{-6-4}{2}=-5\)

Tapauksissa \(\frac00\) ja \(\frac\infty\infty\) on käytettävä määritelmää tai esimerkiksi lausetta 3.2.2.

Esimerkki 3.2.7

Osoita, että

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Tämä on \(\frac00\)-tilanne. Arvioidaan seuraavasti:

\[\begin{aligned} \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}-0\right|=\frac{x^2}{x^2+y^2}|y|\le|y|\to0, \end{aligned}\]

kun \((x,y)\to(0,0)\). Väite seuraa lauseesta 3.2.2.

../_images/kuvaajara1-eps-converted-to.svg

Esimerkki 3.2.8

Osoita, että

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)=0.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Tässä \(1/(x^2+y^2)\to\infty\), kun \((x,y)\to(0,0)\). Siten funktio \(\sin(1/(x^2+y^2))\) heilahtelee välillä \([-1,1]\) origon lähellä, eikä sillä ole raja-arvoa. Arvioidaan seuraavasti:

\[\begin{aligned} \left|(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)-0\right|\le x^2+y^2\to0, \end{aligned}\]

kun \((x,y)\to(0,0)\). Väite seuraa lauseesta 3.2.2.

Esimerkki 3.2.9

Osoita, että

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on \(\frac00\)-tilanne. Käytetään raja-arvon määritelmää. Valitaan \(\epsilon>0\). Koska [Plussa: APK, Lause 4.2.13]

\[\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,\]

niin on olemassa \(\delta_1>0\) siten, että

\[\left|\frac{\sin t}{t}-1\right|<\epsilon,\quad\text{kun}\quad|t|<\delta_1.\]

Jos nyt

\[0<\|(x,y)-(0,0)\|=\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\delta_1},\]

niin \(x^2+y^2<\delta_1\) ja siten

\[\left|\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}-1\right|<\epsilon.\]

Raja-arvon määritelmässä 3.2.1 voidaan siten valita \(\delta=\sqrt{\delta_1}\).

Voidaan myös tutkia, onko raja-arvo olemassa lähestyttäessä rajapistettä \(\ba\) jotakin tiettyä käyrää pitkin. Jos funktiolla on raja-arvo, niin raja-arvo on sama jokaista käyrää pitkin lähestyttäessä. Tätä voidaan käyttää hyväksi osoitettaessa, että funktiolla ei ole raja-arvoa.

  • Jos kahdella eri lähestymistiellä saadaan eri raja-arvot, niin raja-arvoa ei ole olemassa.

  • Raja-arvon olemassaoloa ei tällä menetelmällä voida todistaa: funktiolla voi esimerkiksi olla sama raja-arvo lähestyttäessä kaikkia rajapisteen kautta kulkevia suoria pitkin, vaikka funktiolla ei olisikaan raja-arvoa. Ks. [ep], harjoitustehtävä 13.3.51.

Esimerkki 3.2.10

Funktio

\[f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\]

on nolla koordinaattiakseleilla (eli kun \(x=0\) tai \(y=0\)), suoralla \(y=x\) on \(f(x,y)=1/2\) ja suoralla \(y=-x\) on \(f(x,y)=-1/2\). Origoa lähestyttäessä saadaan erisuuret raja-arvot eri suunnista, joten funktiolla ei ola raja-arvoa origossa.

../_images/kuvaajara2-eps-converted-to_viilattu.svg

Esimerkki 3.2.11

Epäoleelliset raja-arvot \(\pm\infty\) voidaan määritellä samaan tapaan kuin opintojaksolla Analyysin peruskurssi.

a)

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^2+y^2}=\infty,\]

sillä \(x^2+y^2>0\) kaikilla \(x\) ja \(y\) ja \(x^2+y^2\to0\), kun \((x,y)\to(0,0)\).

b) Ei ole olemassa raja-arvoa

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right),\]

sillä a)-kohdan mukaan sinin sisäfunktio \(1/(x^2+y^2)\to\infty\), kun \((x,y)\to(0,0)\), joten tutkittava funktio saa kaikissa \((0,0)\):n ympäristöissä kaikki arvot väliltä \([-1,1]\) eli heilahtelee rajusti origon lähellä.

Jatkuvuus

Jos raja-arvon määritelmässä \(f\) on määritelty pisteessä \(\ba\), niin voidaan kysyä, onko raja-arvo sama kuin funktion arvo pisteessä \(\ba\).

Määritelmä 3.2.12

Olkoon \(f\colon\R^n\to\R\) reaaliarvoinen funktio ja olkoon \(\ba\in D\) \(f\):n määrittelyjoukon \(D\subset\R^n\) kasautumispiste. Tällöin \(f\) on jatkuva (continuous) pisteessä \(\ba\), jos

\[\begin{aligned} f(\ba)=\lim_{\bx\to\ba}f(\bx). \end{aligned}\]

Lisäksi sovitaan, että \(D\):n muissa pisteissä kuin kasautumispisteissä \(f\) on jatkuva. Jos \(f\) on jatkuva kaikissa \(D\):n pisteissä, niin \(f\) on jatkuva.

\(f\):n jatkuvuuteen pisteessä \(\ba\) vaaditaan siis (jos \(\ba\) on \(D\):n kasautumispiste):

  • \(f\) on määritelty pisteessä \(\ba\),

  • \(f\):llä on raja-arvo pisteessä \(\ba\) ja

  • \(f\):n arvo ja \(f\):n raja-arvo ovat yhtäsuuret.

Määritelmät 3.2.1 ja 3.2.12 voidaan yhdistää seuraavaksi \(\epsilon\delta\)-ehdoksi:

Lause 3.2.13

Olkoon \(f\colon\R^n\to\R\) reaaliarvoinen funktio ja olkoon \(\ba\in D\) \(f\):n määrittelyjoukon \(D\subset\R^n\) kasautumispiste. Tällöin \(f\) on jatkuva pisteessä \(\ba\) jos ja vain jos jokaisella \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että

(2)\[\bx\in D\text{ ja }\|\bx-\ba\|<\delta\Rightarrow|f(\bx)-f(\ba)|<\epsilon.\]

Lause 3.2.14

Jos \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvia pisteessä \(\ba\), niin myös funktiot \(f+g\), \(fg\) ja \(f/g\) (jos \(g(\ba)\ne0\)) ovat jatkuvia pisteessä \(\ba\). Jos lisäksi \(F\colon\R\to\R\) on jatkuva pisteessä \(f(\ba)\), on \(F\circ f\) jatkuva jatkuva pisteessä \(\ba\).

Piilota/näytä todistus

Seuraa raja-arvon laskusäännöistä (lause 3.2.5).

Määritelmä 3.2.15

Funktio \(P\colon\R^n\to\R\) on :math:`k`-asteinen polynomi, jos \(P\) on muotoa

\[P(\bx)=\sum_{k_1+\cdots+k_n\le k}c_{k_1,\ldots,k_n}x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}\quad(c_{k_1,\ldots,k_n}\in\R,\ k_i\in\{0,1,\ldots,k\})\]

ja rationaalifunktio on muotoa \(R(\bx)=\bigfrac{P(\bx)}{Q(\bx)}\) oleva funktio, missä \(P\) ja \(Q\) ovat polynomeja.

Polynomit ja rationaalifunktiot ovat lauseen 3.2.14 mukaan jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki 3.2.16

a) \(5.\) asteen polynomi \(f(x,y)=3x^4-7xy^2-x^2y^3+10\) on jatkuva \(\R^2\):ssa.

b) Rationaalifunktio

\[f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}\]

on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\{(x,y)\in\R^2:\ y\ne\pm x\}\).

c) Funktio

\[\begin{split}f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}, &\text{kun }(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &\text{kun }(x,y)=(0,0), \end{cases}\end{split}\]

on rationaalifunktiona jatkuva joukossa \(\R^2\setminus\{(0,0)\}\) ja esimerkin 3.2.7 mukaan \(f\) on jatkuva myös pisteessä \((0,0)\). \(f\) on siis jatkuva koko määrittelyjoukossaan \(\R^2\). Esimerkin 3.2.7 funktio saatiin siis määrittelyllä \(f(0,0)=0\) jatkettua jatkuvaksi funktioksi myös pisteeseen \((0,0)\). Tällaisessa tilanteessa sanotaan, että \((0,0)\) on poistuva epäjatkuvuuspiste (removable discontinuity).

d) Funktio

\[f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\]

on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\R^2\setminus\{(0,0)\}\), mutta esimerkin 3.2.10 mukaan sitä ei saada jatkettua jatkuvaksi pisteeseen \((0,0)\).

Palautusta lähetetään...