\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Käänteiskuvauslause¶

Kerrataan aluksi yhden muuttujan reaaliarvoisia funktioita \(f\colon\R\to\R\). Oletetaan, että \(f\) on derivoituva ja että derivaatta on jatkuva. Oletetaan lisäksi, että \(f'(a)\ne0\) jollakin \(a\in\R\). Tällöin \(f'(x)<0\) tai \(f'(x)>0\) jossakin \(a\):n ympäristössä \((x_0,x_1)\), ja \(f\) on siten aidosti kasvava tai aidosti vähenevä välillä \((x_0,x_1)\). Niinpä \(f\):llä on käänteisfunktio \(f^{-1}\) ko. välillä. Lisäksi käänteisfunktio on derivoituva ja Analyysin peruskurssilta muistetaan [Plussa: APK, Lause 5.2.12] , että

\[(f^{-1})'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}.\]

Tämä tulos yleistyy seuraavasti kuvauksille \(F\colon\R^n\to\R^n\):

Lause 5.5.1 (Käänteiskuvauslause)

Jos \(F\colon\R^n\to\R^n\) on jatkuvasti differentioituva ja pisteessä \(\ba\in\R^n\) on \(\det(F'(\ba))\ne0\), niin jossakin \(\ba\):n ympäristössä \(U\) rajoittuma \(F\colon U\to F(U)\) on bijektio, jonka käänteiskuvaus \(F^{-1}\) on myös jatkuvasti differentioituva. Lisäksi

(1)¶\[(F^{-1})'(F(\ba))=F'(\ba)^{-1}.\]

Todistuksen idea

Piilota/näytä todistus

a) Käänteiskuvauksen \(F^{-1}\) olemassaolo:

\(F\):n differentioituvuuden nojalla

\[\begin{aligned} F(\bx)&\approx F(\ba)+F'(\ba)(\bx-\ba) =\underbrace{(F(\ba)-F'(\ba)\ba)}_{\text{vakio}}+F'(\ba)\bx. \end{aligned}\]

Koska \(\det(F'(\ba))\ne0\), niin matriisi \(F'(\ba)\) on kääntyvä, ja siten lineaarikuvaus \(L(\bx)=F'(\ba)\bx\) on kääntyvä. Niinpä myös \(F\) on bijektio lähellä pistettä \(\ba\) (arvion ”\(\approx\)” tarkempi käsittely sivuutetaan).

b) Kaava: Koska yhdistetty kuvaus \((F^{-1}\circ F)(\bx)=\bx\) on identtinen funktio, niin sen derivaattamatriisi on jokaisessa pisteessä (erityisesti \(\ba\):ssa) yksikkömatriisi \(I\). Ketjusäännöllä saadaan siten

\[\begin{aligned} I=(F^{-1}\circ F)'(\ba)=(F^{-1})'(F(\ba))F'(\ba), \end{aligned}\]

josta väitetty kaava seuraa kertomalla yhtälö puolittain oikealta käänteismatriisilla \(F'(\ba)^{-1}\).

Lauseessa esiintyvää determinanttia kutsutaan Jacobin determinantiksi (Jacobian) ja merkitään

\[J_F(\bx)=\det(F'(\bx)).\]

Palataan em. yhden muuttujan reaaliarvoiseen funktioon \(f\colon\R\to\R\). Lähellä \(a\):ta \(f\):ää voidaan approksimoida tangenttisuorallaan, jonka kulmakerroin on \(f'(a)\). \(a\):n sisältävän pienen välin \(I\) kuvan \(f(I)\) pituus on siis noin \(|f'(a)|\) kertaa \(I\):n pituus.

Jatkuvasti differentioituvalle funktiolle \(F\colon\R^2\to\R^2\) pätee vastaava tulos. \(F\):ää voidaan lähellä pistettä \(\ba\) approksimoida lineaarikuvauksen \(L\colon\R^2\to\R^2\) avulla. Merkitään \(L\):n matriisia \(M\):llä. Silloin kuvajoukon \(L(A)\) pinta-ala on \(|\det(M)|\)-kertainen joukon \(A\subset\R^2\) pinta-alaan verrattuna (ks. Vektorit ja matriisit). Niinpä \(\ba\):n sisältävän pienen joukon \(A\subset\R^2\) kuvan \(F(A)\) pinta-ala on noin \(|J_F(\ba)|\) kertaa \(A\):n pinta-ala. Lukua \(|J_F(\ba)|\) kutsutaan funktiolle \(F\colon\R^2\to\R^2\) pinta-alan suurennussuhteeksi. Vastaavasti funktiolle \(F\colon\R^3\to\R^3\) Jacobin determinantin itseisarvo \(|J_F(\ba)|\) on tilavuuden suurennussuhde.