\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Ketjusääntö¶

Opintojaksolta Analyysin Peruskurssi [Plussa: APK, Lause 5.2.10] muistetaan ketjusääntö yhden muuttujan reaaliarvoisille funktioille: jos \(g\) on derivoituva pisteessä \(a\) ja \(f\) on derivoituva pisteessä \(g(a)\), niin silloin yhdistetty funktio \(h(x)=f(g(x))\) on derivoituva pisteessä \(a\) ja derivaatta on

\[h'(a)=f'(g(a))g'(a).\]

Samantapainen kaava pätee usean muuttujan vektoriarvoisten funktioiden \(H\), \(F\) ja \(G\) derivaattamatriiseille \(H'\), \(F'\) ja \(G'\):

Lause 5.4.1 (Ketjusääntö)

Olkoon \(G\colon\R^n\to\R^p\) differentioituva pisteessä \(\ba\in\R^n\) ja \(F\colon\R^p\to\R^m\) differentioituva pisteessä \(G(\ba)\in\R^p\). Tällöin yhdistetty funktio \(H=F\circ G\colon\R^n\to\R^m,\ H(\bx)=F(G(\bx))\) on differentioituva pisteessä \(\ba\) ja

(1)¶\[H'(\ba)=F'(G(\ba))G'(\ba).\]

Piilota/näytä todistus

Käytetään ensin \(G\):n differentioituvuutta pisteessä \(\ba\) ja sitten \(\bF\):n differentioituvuutta pisteessä \(G(\ba)\):

\[\begin{split}\begin{aligned} F(G(\ba+\bh))&=F\Big(G(\ba)+\underbrace{G'(\ba)\bh+\mathcal{E}_G(\bh)\|\bh\|}_{=:\bk}\Big)\\ &=F(G(\ba))+F'(G(\ba))\bk+\mathcal{E}_F(\bk)\|\bk\|\\ &=F(G(\ba))+F'(G(\ba))G'(\ba)\bh+\underbrace{F'(G(\ba))\mathcal{E}_G(\bh)\|\bh\|+\mathcal{E}_F(\bk)\|\bk\|}_{=:\mathcal{E}(\bh)\|\bh\|}\\ &=F(G(\ba))+F'(G(\ba))G'(\ba)\bh+\mathcal{E}(\bh)\|\bh\|, \end{aligned}\end{split}\]

missä \(\mathcal{E}(\bh)\to\bo\), kun \(\bh\to\bo\). Soveltamalla lausetta 5.3.4 nähdään, että \(F\circ G\) on differentioituva \(\ba\):ssa ja että derivaattamatriisi on \(M=F'(G(\ba))G'(\ba)\).

Esimerkki 5.4.2

Olkoon \(G\colon\R^3\to\R^3\), \(G(x,y,z)=(xz,\,xy,\,yz^2)\) ja \(F\colon\R^3\to\R^2\), \(F(u,v,w)=(\sin(u+w),\,uv^2w)\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} G'(x,y,z)&= \begin{bmatrix} z & 0 & x\\ y & x & 0\\ 0 & z^2 & 2yz \end{bmatrix} \quad\text{ja}\\ F'(u,v,w)&= \begin{bmatrix} \cos(u+w) & 0 & \cos(u+w)\\ v^2w & 2uvw & uv^2 \end{bmatrix}, \end{aligned}\end{split}\]

joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &(F\circ G)'(x,y,z)=F'(G(x,y,z))G'(x,y,z)\\ &=\begin{bmatrix} \cos(xz+yz^2) & 0 & \cos(xz+yz^2)\\ x^2y^3z^2 & 2x^2y^2z^3 & x^3y^2z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z & 0 & x\\ y & x & 0\\ 0 & z^2 & 2yz \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} z\cos(xz+yz^2) & z^2\cos(xz+yz^2) & (x+2yz)\cos(xz+yz^2)\\ 3x^2y^3z^3 & 3x^3y^2z^3 & 3x^3y^3z^2 \end{bmatrix}. \end{aligned}\end{split}\]

Lasku voidaan tarkastaa muodostamalla ensin yhdistetyn funktion lauseke

\[(F\circ G)(x,y,z)=\left(\sin(xz+yz^2),\,x^3y^3z^3\right)\]

ja muodostamalla tälle derivaattamatriisi suoraan määritelmää 5.3.1 käyttäen. Kokeile!

Kirjoittamalla matriisitulo (1) auki saadaan mm. seuraavat usein esiintyvät erikoistapaukset:

Tapaus :math:`n=m=1`, :math:`p=3`.

Olkoon \(\br\colon\R\to\R^3\), \(\br(t)=(x(t),y(t),x(t))\) ja \(f\colon\R^3\to\R\), \(f=f(x,y,z)\). Tällöin yhdistetty funktio \(w(t)=f(\br(t))\) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio ja saadaan ketjusääntö

\[\begin{split}\frac{dw}{dt}=f'(\br(t))\br'(t)= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}& \dfrac{\partial f}{\partial y}& \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{dx}{dt}\\[10pt] \dfrac{dy}{dt}\\[10pt] \dfrac{dz}{dt} \end{bmatrix},\end{split}\]

ts.

\[\boxed{\frac{dw}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+ \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}}\]

Tapaus :math:`n=3`, :math:`p=m=1`.

Olkoon \(u\colon\R^3\to\R\), \(u=u(x,y,z)\) ja \(f\colon\R\to\R\), \(f=f(u)\). Tällöin yhdistetyn funktion \(w(x,y,z)=f(u(x,y,z))\) derivaattamatriisi on

\[\begin{split}\begin{aligned} w'(x,y,z)&=f'(u(x,y,z))u'(x,y,z) =\begin{bmatrix}\dfrac{df}{du}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x}& \dfrac{\partial u}{\partial y}& \dfrac{\partial u}{\partial z} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \dfrac{df}{du}\dfrac{\partial u}{\partial x}& \dfrac{df}{du}\dfrac{\partial u}{\partial y}& \dfrac{df}{du}\dfrac{\partial u}{\partial z} \end{bmatrix}, \end{aligned}\end{split}\]

mistä voidaan poimia \(w\):n osittaisderivaatat

\[\boxed{\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial x},\quad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial y} \quad\text{ja}\quad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{df}{du}\frac{\partial u}{\partial z}}.\]

Tapaus :math:`n=2`, :math:`p=3`, :math:`m=1`.

Olkoon \(G\colon\R^2\to\R^3\), \(G(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) ja \(f\colon\R^3\to\R\), \(f=f(x,y,z)\). Tällöin yhdistetyn funktion \(w(u,v)=f(G(u,v))\) derivaattamatriisi on

\[\begin{split}\begin{aligned} w'(u,v)&=f'(G(u,v))G'(u,v) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}& \dfrac{\partial f}{\partial y}& \dfrac{\partial f}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial z}{\partial u}&\dfrac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix}\\[10pt] &= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u}+ \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial u}& \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v}+ \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix}, \end{aligned}\end{split}\]

joten \(w\):n osittaisderivaatat ovat

(2)¶\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial u}&= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+ \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}\\[5pt] \frac{\partial w}{\partial v}&= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+ \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v} \end{aligned}}\end{split}\]

Esimerkki 5.4.3

Olkoon \(x=uv\) ja \(y=u-v\), missä \(u=s+t\) ja \(v=s^2+t^2\).

Laske \(\dfrac{\partial x}{\partial s}\) ja \(\dfrac{\partial y}{\partial t}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Nyt \(x=x(u,v)\), \(u=u(s,t)\) ja \(v=v(s,t)\). Merkitään \(w(s,t)=x(u(s,t),v(s,t))\). Samaan tapaan kuin kaavoissa (2) saadaan

\[\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s}=v\cdot1+u\cdot2s=(s^2+t^2)+(s+t)2s=3s^2+2st+t^2.\]

Yleensä ei erikseen määritellä uutta funktiota \(w\), vaan tulkitaan \(x\) \(s\):n ja \(t\):n funktioksi, eli kirjoitetaan suoraan

\[\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s}=\cdots.\]

Muistisäännöksi tälle kaavalle voidaan rakentaa kuvan mukainen riippuvuuskaavio: \(x\) riippuu \(u\):sta ja \(v\):stä, \(u\) \(s\):tä ja \(t\):stä sekä \(v\) \(s\):tä ja \(t\):stä.

Samaan tapaan voidaan laskea

\[\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=1-2t.\]

Laske vastaavalla tavoin myös osittaisderivaatat \(\dfrac{\partial x}{\partial t}\) ja \(\dfrac{\partial y}{\partial s}\).

Aina voidaan käyttää myös matriisituloa: merkitään \(G(s,t)=(s+t,\,s^2+t^2)=(u(s,t),\,v(s,t))\) ja \(F(u,v)=(uv,\,u-v)=(x(u,v),\,y(u,v))\). Näiden derivaattamatriisit ovat

\[\begin{split}\begin{aligned} F'(u,v) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} v&u\\ 1&-1 \end{bmatrix} \quad\text{ja}\quad G'(s,t) =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial s}&\dfrac{\partial u}{\partial t}\\[10pt] \dfrac{\partial v}{\partial s}&\dfrac{\partial v}{\partial t} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&1\\ 2s&2t \end{bmatrix}, \end{aligned}\end{split}\]

joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &(F\circ G)'(s,t)=F'(G(s,t))G'(s,t) =\begin{bmatrix} s^2+t^2&s+t\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ 2s&2t \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 3s^2+2st+t^2 & s^2+3t^2+2st\\ 1-2s & 1-2t \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial s}&\dfrac{\partial x}{\partial t}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial s}&\dfrac{\partial y}{\partial t} \end{bmatrix}, \end{aligned}\end{split}\]

josta kaikki osittaisderivaatat \(\dfrac{\partial x}{\partial s}\), \(\dfrac{\partial x}{\partial t}\), \(\dfrac{\partial y}{\partial s}\) ja \(\dfrac{\partial y}{\partial t}\) voidaan lukea.

Esimerkki 5.4.4

Oletetaan, että ilmakehän lämpötila pisteessä \((x,y,z)\) (km) on

\[T(x,y,z)=\frac{xy}{1+z}\quad(^\circ\text{C})\]

ja että ilmapalloon kiinnitetty sääluotain kulkee pitkin käyrää

\[\br(t)=(t,\,2t,\,t-t^2)\quad(\text{km}),\]

missä ajan \(t\) yksikkönä on tunti (\(0\le t\le1\)). Laske sääluotaimen kokema lämpötilan muutosnopeus ajan funktiona hetkellä \(t=1/2\).

Piilota/näytä ratkaisu

Ketjusäännöllä (ks. kuva)

\[\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial T}{\partial z}\frac{dz}{dt} =\frac{y}{1+z}+2\frac{x}{1+z}-\frac{xy}{(1+z)^2}(1-2t).\]

Ajanhetkellä \(t=1/2\) on \(x=t=1/2\), \(y=2t=1\) ja \(z=t-t^2=1/4\), joten

\[\frac{dT}{dt}=\frac45+\frac45+0=\frac85=1{,}6\quad(^\circ\text{C/h}).\]

Esimerkki 5.4.5

Oletetaan, että kaasunäyte noudattaa ideaalikaasun tilanyhtälöä \(pV=nRT\). Tarkasteluhetkellä tilavuus \(V=10\)l, paine \(p=2\)atm ja lämpötila \(T=300\)K. Ainemäärä \(n\) ja kaasuvakio \(R\) ovat vakioita. Tiedetään, että paine kasvaa \(1\)atm/min ja lämpötila kasvaa \(10\)K/min. Mikä on tilavuuden muutosnopeus ajan funktiona kyseisellä ajanhetkellä?

Piilota/näytä ratkaisu

Alkutilanteen perusteella ratkaistaan \(nR=pV/T=2\cdot10/300=1/15\), joten

\[V=V(p,T)=nR\frac{T}{p}=\frac{1}{15}\,\frac{T}{p},\]

missä \(p\) ja \(T\) ovat ajan \(t\) (min) funktiota: \(p=p(t)\) ja \(T=T(t)\). Ketjusäännöllä

\[\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial p}\frac{dp}{dt}+\frac{\partial V}{\partial T}\frac{dT}{dt}=-\frac{1}{15}\,\frac{T}{p^2}\,\frac{dp}{dt}+\frac{1}{15}\,\frac1p\,\frac{dT}{dt}.\]

Sijoittamalla tähän \(p=2\), \(T=300\), \(\dfrac{dp}{dt}=1\) ja \(\dfrac{dT}{dt}=10\) saadaan vastaukseksi

\[\frac{dV}{dt}=-\frac{1}{15}\,\frac{300}{2^2}+\frac{1}{15}\,\frac12\cdot10\approx-4{,}7\quad(\text{l/min}).\]

Huomautus 5.4.6

Esimerkissä 5.4.4 \(x(t)\):n, \(y(t)\):n ja \(z(t)\):n lausekkeet tunnetaan, joten oltaisiin voitu sijoittaa ne \(T(x,y,z)\):n lausekkeeseen ja derivoida näin saatu yhden muuttujan funktio \(t\):n suhteen. Kokeile! Esimerkissä 5.4.5 tunnetaan \(p(t)\):n ja \(T(t)\):n muutosnopeudet, mutta ei niiden lausekkeita, joten on pakko käyttää kahden muuttujan funktion ketjusääntöä.