\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Raja-arvo ja jatkuvuus¶

Vektoriarvoisen funktion raja-arvo ja jatkuvuus määritellään samaan tapaan kuin reaaliarvoisen funktionkin (vrt. määritelmät 3.2.1 ja 3.2.12). Nyt vain kuvapuolella käytetään itseisarvon \(|\cdot|\) sijasta normia \(\|\cdot\|\).

Määritelmä 5.2.1

Olkoon \(F\colon\R^n\to\R^m\) ja olkoon \(\ba\in\R^n\) \(F\):n määrittelyjoukon \(D\subset\R^n\) kasautumispiste. Tällöin funktiolla \(F\) on raja-arvo \(L\in\R^m\) pisteessä \(\ba\), merkitään

\[L=\lim_{\bx\to\ba}F(\bx)\qquad\text{tai}\qquad F(\bx)\to L,\text{ kun }\bx\to\ba,\]

jos jokaisella \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että

(1)¶\[\bx\in D\text{ ja }0<\|\bx-\ba\|<\delta\Rightarrow\|F(\bx)-L\|<\epsilon.\]

Määritelmän ehto (1) tarkoittaa, että \(\ba\)-keskinen \(\delta\)-säteinen punkteerattu pallo (tai tarkalleen ottaen punkteeratun pallon ja \(D\):n leikkaus) kuvautuu \(L\)-keskiseen \(\epsilon\)-säteiseen palloon, ts.

\[F(B(\ba,\delta)\setminus\{\ba\})\subset B(L,\epsilon).\]

Tässä \(B(\ba,\delta)\subset\R^n\) ja \(B(L,\epsilon)\subset\R^m\). Kaaviokuva tapauksesta \(n=m=2\):

Raja-arvon määritelmässä \(F\):n ei tarvitse olla määritelty pisteessä \(\ba\). Jos kuitenkin on, voidaan kysyä, onko raja-arvo sama kuin funktion arvo:

Määritelmä 5.2.2

Olkoon \(F\colon\R^n\to\R^m\) ja olkoon \(\ba\in D\) \(F\):n määrittelyjoukon \(D\) kasautumispiste. Tällöin \(F\) on jatkuva pisteessä \(\ba\), jos

\[\begin{aligned} F(\ba)=\lim_{\bx\to\ba}F(\bx). \end{aligned}\]

Jos \(F\) on jatkuva kaikissa \(D\):n pisteissä, niin \(F\) on jatkuva. (Sovitaan, että \(D\):n muissa pisteissä kuin kasautumispisteissä \(F\) on jatkuva.)

Usein jatkuvuuden määritelmä esitetään seuraavassa \(\epsilon\delta\)-muodossa.

Lause 5.2.3

\(F\colon\R^n\to\R^m\) on on jatkuva määrittelyjoukon \(D\) kasautumispisteessä \(\ba\) jos ja vain jos jokaisella \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että

\[\begin{aligned} \bx\in D\text{ ja }\|\bx-\ba\|<\delta\Rightarrow\|F(\bx)-F(\ba)\|<\epsilon. \end{aligned}\]

Piilota/näytä todistus

Seuraa suoraan määritelmistä 5.2.1 ja 5.2.2.

Vektoriarvoisen funktion raja-arvon ja jatkuvuuden tarkastelu palautuu koordinaattifunktioiden tarkasteluun.

Lause 5.2.4

Olkoon \(F=(f_1,\ldots,f_m)\colon\R^n\to\R^m\). Tällöin

\(\displaystyle\lim_{\bx\to\ba}F(\bx)=\left(\lim_{\bx\to\ba}f_1(\bx),\ldots,\lim_{\bx\to\ba}f_m(\bx)\right)\)
\(F\) on jatkuva pisteessä \(\ba\) jos ja vain jos jokainen koordinaattifunktio \(f_i\) on jatkuva pisteessä \(\ba\).

Piilota/näytä todistus

On osoitettava, että on olemassa \(\displaystyle\lim_{\bx\to\ba}F(\bx)=L=(L_1,\ldots,L_m)\) jos ja vain jos on olemassa \(\displaystyle\lim_{\bx\to\ba}f_i(\bx)=L_i\) kaikilla \(i\in\{1,\ldots,m\}\).

”\(\Rightarrow\)” Olkoon \(\epsilon>0\). Tällöin on olemassa \(\delta>0\) siten, että \(\|F(\bx)-L\|<\epsilon\) aina kun \(0<\|\bx-\ba\|<\delta\). Jos nyt \(i\in\{1,\ldots,m\}\), niin

\[\begin{split}\begin{aligned} |f_i(\bx)-L_i| &=\sqrt{(f_i(\bx)-L_i)^2}\\ &\le\sqrt{(f_1(\bx)-L_1)^2+\cdots+(f_m(\bx)-L_m)^2}\\ &=\|F(\bx)-L\|<\epsilon \end{aligned}\end{split}\]

aina kun \(0<\|\bx-\ba\|<\delta\), eli on olemassa \(\displaystyle\lim_{\bx\to\ba}f_i(\bx)=L_i\).

”\(\Leftarrow\)” Olkoon \(\epsilon>0\). Tällöin jokaisella \(i\in\{1,\ldots,m\}\) on olemassa \(\delta_i>0\) siten, että \(|f_i(\bx)-L_i|<\epsilon/\sqrt{m}\) aina kun \(0<\|\bx-\ba\|<\delta_i\). Asetetaan \(\delta=\min\{\delta_1,\ldots,\delta_m\}\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} \|F(\bx)-L\|&=\sqrt{(f_1(\bx)-L_1)^2+\cdots+(f_m(\bx)-L_m)^2}\\ &\le\sqrt{\frac{\epsilon^2}{m}+\cdots+\frac{\epsilon^2}{m}} =\sqrt{m\frac{\epsilon^2}{m}} =\epsilon \end{aligned}\end{split}\]

aina kun \(0<\|\bx-\ba\|<\delta\), eli on olemassa \(\displaystyle\lim_{\bx\to\ba}F(\bx)=L\).

Seuraa kohdasta (1).

Esimerkki 5.2.5

Funktio \(F\colon\R^3\to\R^2\),

\[F(x,y,z)=\left(\frac{x^2+y^2}{x-z},\ \ln(x+yz)\right)\]

on jatkuva määrittelyjoukossaan \(D=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x\ne z\) ja \(x+yz>0\}\).

Jatkuvien funktioiden summa on jatkuva ja samoin reaaliluvulla kerrottu jatkuva funktio.

Lause 5.2.6

Jos \(\lambda\in\R\) ja funktiot \(F\colon\R^n\to\R^m\) ja \(G\colon\R^n\to\R^m\) ovat jatkuvia pisteessä \(\ba\), niin myös funktiot \(F+G\) ja \(\lambda F\) ovat jatkuvia pisteessä \(\ba\).

Piilota/näytä todistus

Komponenttifunktiot ovat jatkuvia lauseen lauseen 3.2.14 nojalla, jolloin lauseen 5.2.4 mukaan funktiot ovat jatkuvia.

Lause 5.2.7

Olkoon \(G\colon\R^n\to\R^p\) jatkuva pisteessä \(\ba\in\R^n\) ja

\(F\colon\R^p\to\R^m\) jatkuva pisteessä \(G(\ba)\in\R^p\). Tällöin yhdistetty funktio

\(F\circ G\colon\R^n\to\R^m,\ (F\circ G)(\bx)=F(G(\bx))\), on jatkuva pisteessä \(\ba\).

Piilota/näytä todistus

Samaan tapaan kuin yhden muuttujan reaaliarvoisille funktioille [Plussa: APK, Lause 4.2.5 (8)]; korvaa itseisarvo \(|\cdot|\) normilla \(\|\cdot\|\).