\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Avaruusintegraalin määritelmä
Avaruusintegraalia on mahdollisesti käsitelty jo aikaisemmilla
kursseilla, mutta seuraavassa lyhyt tiivistelmä aiheesta. Erityisesti
yleinen muuttujanvaihto saattaa olla uutta asiaa.
Avaruusintegraaliin päädytään esimerkiksi seuraavan sovelluksen kautta:
Vastauksen kysymykseen antaa tiheysfunktion \(\rho\) avaruusintegraali:
\[m =\iiint_K \rho \, dV.\]
Tarkastellaan aluksi suorakulmaisessa särmiössä
\[S=[a_1,a_2]\times [b_1,b_2]\times[c_1,c_2]
= \{ (x,y,z) \mid a_1\le x\le a_2,\ b_1\le y\le b_2,\ c_1\le z\le c_2\}\]
määriteltyä funktiota \(f\colon S\to \R\). Matemaattisessa mielessä voisi olla toivottavaa,
että \(f\) on jatkuva, mutta käytännön sovellusten ja yleisemmän tapauksen kannalta jatkuvuus
on liian rajoittava vaatimus. Seuraavassa oletetaan kuitenkin, että funktio \(f\) on jossakin
intuitiivisessa mielessä edes ”paloittain jatkuva”. Jaetaan suorakulmio \(S\) pieniin osiin käyttämällä tasavälistä
jakoa \(n\):ään osaan kaikissa suunnissa. Jakovälien pituudet ovat
\[\Delta x =\frac{a_2-a_1}{n}, \ \Delta y =\frac{b_2-b_1}{n}, \ \Delta z =\frac{c_2-c_1}{n}\]
ja niihin liittyvät jakopisteet
\[x_k= a_1+k\cdot \Delta x, \ y_k= b_1+k\cdot \Delta y,\ z_k= c_1+k\cdot \Delta z,\]
kun \(k=0,1,2,\dots,n\). Nämä jakavat särmiön \(S\) pieniin yhdenmuotoisiin särmiöihin
\[S_{ijk} = [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\times[z_{k-1},z_k],\]
kun \(1\le x,y,z\le n\). Kunkin pienen särmion tilavuus on \(\Delta V = \Delta x\, \Delta y\, \Delta z\).
Jos ajatellaan massan laskemista tiheysfunktion \(f\) avulla, niin pienen särmiön massaa
voidaan approksimoida lausekkeella
\[\Delta m_{ijk} \approx f(x_i,y_j,z_k)\Delta V,\]
joten koko särmiön massalle saadaan arvio
\[m = \sum_{i,j,k=1}^n \Delta m_{ijk}\approx \sum_{i,j,k=1}^n f(x_i,y_j,z_k)\Delta V.\]
Ilmeisesti approksimaation tarkkuus paranee, kun \(n\to\infty\), joten asetetaan seuraava määritelmä. Siihen
ei sisälly oletusta \(f > 0\), mutta muuten merkinnät liittyvät yllä esitettyyn.
Avaruusintegraalille käytetään myös nimitystä tilavuusintegraali. Yleisemmässä tilanteessa
voidaan käyttää muitakin kuin tasavälisiä jakoja, ja funktion arvoja voidaan laskea muuallakin
kuin pienten särmiöiden kärkipisteissä. Näin päädytään ala- ja yläsummien kautta parempaan määritelmään,
jonka avulla mm. integroituvuutta voidaan tutkia tarkemmin.
Käytännössä avaruusintegraalin laskeminen perustuu seuraavaan lauseeseen.
Lause 6.1.2
Funktion \(f\colon S\to\R\) avaruusintegraali voidaan (yleensä) laskea palauttamalla
se kolmeen tavalliseen integraaliin, eli muodossa
\[\iiint_S f\, dV =\int_{a_1}^{a_2}\left( \int_{b_1}^{b_2}\left(\int_{c_1}^{c_2} f(x,y,z)\, dz\right) dy\right) dx.\]
Kuten tasointegraalin kohdalla, oikean puolen kaavasta voidaan jättää sulut pois, kun sovitaan, että integroimisrajat
ja differentiaalit vastaavat toisiaan tässä järjestyksessä. Lisäksi täytyy huomata, että yksiulotteiset integraalit
voi laskea missä tahansa järjestyksessä, joita on yllä kirjoitetun lisäksi viisi muuta. Vaikka kaikki järjestykset
johtavat samaan lopputulokseen, voi niiden käytännön laskemisessa olla suuria eroja; vrt. tasointegraali.
Suluissa esiintyvä epätäsmällinen ”yleensä”tarkoittaa esimerkiksi niitä tapauksia, joissa \(f\) on jatkuva tai sen
mahdolliset epäjatkuvuuskohdat särmiön \(S\) sisällä ovat sileitä pintoja.
Yleisessä tapauksessa funktion \(f\colon K\to \R\) määrittelyjoukkona on rajoitettu kappale (solid) \(K\subset \R^3\).
Sen avaruusintegraalin määritelmä palautetaan särmiön tapaukseen seuraavalla tavalla. Valitaan ensin suorakulmainen
särmiö \(S\), joka sisältää kappaleen \(K\), ja määritellään sitten uusi funktio \(F\colon S\to \R\) asettamalla
\[\begin{split}F(x,y,z)=
\begin{cases}
f(x,y,z), & \text{ jos } (x,y,z)\in K, \\
0, & \text{ jos } (x,y,z)\notin K. \\
\end{cases}\end{split}\]
Tällaista funktiota kutsutaan funktion \(f\) nollajatkeeksi. (extension by zero)
Vaikka alkuperäinen funktio \(f\) olisi jatkuva joukossa \(K\), ei sen nollajatke ole yleensä jatkuva
särmiössä \(S\). Esimerkiksi tilavuuden kohdalla vakiofunktion 1 nollajatke on aina epäjatkuva joukon \(K\)
reunalla \(\partial K\). Jos \(f\) on jatkuva ja reuna \(\partial K\) edes paloittain sileä, ei
integroituvuus tuota ongelmia ja avaruusintegraali on määritelty. Toisaalta on hieman yllättävää,
ettei edes tilavuutta voida määritellä kaikille joukoille niin, että se toteuttaisi tietyt yksinkertaiset
perusominaisuudet. Tunnetuin esimerkki tästä on ns.
Banachin ja Tarskin paradoksi.
Avaruusintegraalille on voimassa
\[\iiint_{K_1\cup K_2} f \, dV = \iiint_{K_1}f \, dV + \iiint_{K_2}f \, dV,\]
jos molemmat oikean puolen integraalit on määritelty ja \(V(K_1\cap K_2)=0\). Tämä
mahdollistaa avaruusintegraalin laskemisen pienemmissä osissa, joissa integrointi
on helpompaa. Helpoin tapaus on se, jossa kappaletta \(K\) rajoittaa alapinta \(z=u(x,y)\)
ja yläpinta \(z=v(x,y)\) tasoalueen \(D\subset \R^2\) kohdalla, ts.
(1)\[ K= \{ (x,y,z)\in\R^3 \mid (x,y)\in D,\ u(x,y)\le z\le v(x,y)\}.\]
Vastaava tilanne voi esiintyä myös kahdella muulla tavalla, kun muuttujia vaihdellaan
keskenään. Tällaisia joukkoja kutsutaan projisoituviksi, (simple solid) ja joukko
on säännöllinen, jos se voidaan jakaa äärelliseen määrään projisoituvia osia.
Projisoituvassa joukossa avaruusintegraali voidaan palauttaa tasointegraaliin, kun
yksi suunta integroidaan ensin pois. Esimerkiksi tyyppiä (1) olevassa joukossa
pätee
(2)\[ \iiint_K f\, dV = \iint_D\left( \int_{u(x,y)}^{v(x,y)} f(x,y,z)\, dz \right) dA,\]
ja vastaavalla tavalla voidaan menetellä kahdessa muussa projisoituvassa tapauksessa.
Piilota/näytä todistus
Kun funktion \(f\) nollajatkeen integraalissa
integroidaan aluksi muuttujan \(z\) suhteen särmiön alareunalta yläreunalle, on joukon
\(K\) ala- ja yläpuolella integroivana pelkkää nollaa. Käytännössä integraali alkaa siis
vasta korkeudelta \(z=u(x,y)\) ja päättyy korkeudelle \(z=v(x,y)\); vrt. alla oleva sivukuva.
