\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Jacobin matriisi ja suurennussuhteet
Yleisessä tapauksessa funktion \(\mathbf{f}\colon \mathbf{R}^k\to\mathbf{R}^n\) derivaatta on \(n\times k\)-matriisi \(D\mathbf{f}\),
jonka alkiot ovat muotoa \([D\mathbf{f}]_{ij}=\partial f_i/\partial x_j\), ts. derivaattamatriisin \(i\):nnellä rivillä on koordinaattifunktion
\(f_i\) kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat. Sitä kutsutaan myös (Jacobian matrix) Jacobin matriisiksi ja merkitään vaihtoehtoisesti
\[D\mathbf{f} = J_{\mathbf{f}} =\nabla \mathbf{f}= \frac{\partial (f_1,\dots,f_n)}{\partial (x_1,\dots,x_k)}.\]
Tapauksessa \(n=k\) sen determinantti on nimeltään (Jacobian dererminant) Jacobin determinantti. (Jacobian)
Joissakin yhteyksissä merkintä \(J=J_{\mathbf{f}}\) tarkoittaa nimenomaan Jacobin determinanttia eikä
matriisia. (Lisäksi Jacobin matriisi määritellään joskus yllä olevan transpoosina, mutta se ei vaikuta
determinanttiin).
Kaavojen lyhentämiseksi käytetään alla derivaattamatriisille merkintää \(J\).
Tarkastellaan tapausta \(n=3\), kun \(k=1\), 2 tai 3. Tarkoituksena on osoittaa, että kaikissa tapauksissa pituuden,
pinta-alan tai tilavuuden suurennussuhde voidaan kirjoittaa yhtenäisessä muodossa
\[\sqrt{\det J^T J}.\]
Tapaus \(k=1\): Kyseessä on avaruuskäyrän parametrisointi, jolloin luvun 1 merkintöjä käyttäen
\(\mathbf{f}(t)=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\) ja
\[\begin{split}J =
\begin{bmatrix}[1.5]
\frac{dx}{dt} \\
\frac{dy}{dt} \\
\frac{dz}{dt} \\
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Tällöin \(J^T J = x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2 = \|\mathbf{r}'(t)\| ^2\ge 0\), sillä vaaka- ja pystyvektorin kertominen
vastaa vektoreiden pistetuloa. Näin ollen kaavan \(ds = \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt\) kaarenpituuden suurennussuhde voidaan
kirjoittaa myös muodossa
\[\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{\det J^T J}.\]
Determinantti on tässä kaavassa tarpeeton, jos \(1\times 1\)-matriisi tulkitaan reaaliluvuksi.
Tapaus \(k=2\): Kyseessä on pinnan parametrisointi, joten luvun 4 merkintöjä käyttäen
\(\mathbf{f}(u,v)=\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) ja
\[\begin{split}J =
\begin{bmatrix}[1.5]
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}\\
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Kaikille \(3\times 2\)-matriiseille \(M\) pätee: Lauseke \(\det (M^T M)\) on sama kuin matriisin \(M\) sarakevektoreiden
ristitulovektorin pituuden neliö. Tämän väitteen todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Luvun 4 merkinnöillä saadaan siis
\[\det J^T J = \left\| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right\|^2
= \| \mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\|^2 \ge 0\]
Kaavan \(dS = \| \mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\| \, dA\)
pinta-alan suurennussuhde voidaan siis kirjoittaa muodossa
\[\| \mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\| =\sqrt{\det J^T J}.\]
Tapaus \(k=3\): Kolmen muuttujan tapaus voidaan tulkita joko muuttujanvaihtona tai vektorikenttänä,
mutta tilavuuden muutoksia tutkittaessa injektiivinen muuttujanvaihto on luonnollisempi vaihtoehto.
Luvun 3 merkinnöillä
\[\mathbf{f}(u,v,w)=\mathbf{r}(u,v,w)=(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\]
, jolloin
\[\begin{split}J =
\begin{bmatrix}[1.5]
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}\\
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Neliömatriisin tapauksessa
\[\det(J^T J) = \det(J^T)\det(J) = \big(\det(J)\big)^2 \ge 0,\]
joten tilavuuden suurennussuhde voidaan esittää tässäkin tapauksessa muodossa
\[|\det J|=\sqrt{\det J^T J}.\]