\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Kolminoidut pinnat¶

Yksiulotteisessa tapauksessa funtion derivaatan integraali saadaan sijoittamalla päätepisteiden arvot funktion lausekkeeseen. Useampiulotteisissa tapauksissa tämä yleistyy niin, että funktion derivaattojen integraalit palautuvat itse funktion integrointiin joukon reunan yli. Näistä tuloksista on jo aikaisemmin käsitelty Greenin kaava, joka on erikoistapaus alla olevasta Stokesin lauseesta. Kolmas ja ehkä kaikkein tärkein tällaisista tuloksista on pinta- ja avaruusintegraalien välistä yhteyttä kuvaava Gaussin lause.

Vektorikentän vuo pinnan läpi kuvaa esimerkiksi tilannetta, jossa neste virtaa tietyn kuvitteellisen pinnan \(P\) läpi; kuvitteellinen pinta ei siis vaikuta virtaukseen millään tavalla, mutta sen avulla voidaan tutkia virtauksen ominaisuuksia. Tarkastellaan pientä pinta-alkiota \(\Delta S\), jonka yksikkönormaali on \(\mathbf{n}\). Lyhyellä aikavälillä \(\Delta t\) pinta-alkion läpi virtaavan nesteen tilavuus on suunnilleen

\[v_{\mathbf{n}}\Delta t\cdot \Delta S,\]

jossa \(v_{\mathbf{n}}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\) on virtausnopeuden normaalikomponentti ja \(v_{\mathbf{n}}\Delta t\) virtauksen etenemä pintaa vastaan ”kohtisuora matka”aikavälillä \(\Delta t\).

Tällä aikavälillä koko pinnan läpi virtaavan nesteen tilavuus on

\[\Delta V \approx \left(\iint_P\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS\right)\Delta t,\]

josta rajalla \(\Delta t \to 0\) saadaan

\[\frac{dV}{dt} = \iint_P\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS.\]

Viimeinen integraali on nopeuskentän \(\mathbf{v}\) vuo pinnan \(P\) läpi. (flux)

Tämän luvun tärkeimpien tulosten kohdalla tarvitaan aikaisempaa huolellisempia tarkasteluja sen suhteen, missä tilanteissa pinnan yksikkönormaali ja vuo voidaan ”järkevällä”tavalla määritellä. Seuraavat päättelyt johtavat suunnatun kolmioidun pinnan käsitteeseen, joka vastaa tähän kysymykseen.

Sileä pinta \(P\) on suunnistuva, (orientable surface) jos sillä on jatkuva normaalivektorikenttä \({\bf N}\colon P\to{\bf R}^3\), jolle \(\|{\bf N}\|> 0\) kaikissa pisteissä. Tällöin vektori \({\bf N}\) määrää kussakin pisteessä pinnan positiivisen puolen. Huomaa, että vektorikentän \({\bf N}\) täytyy olla jatkuva myös mahdollisissa ”liitoskohdissa”(vrt. yksikköpallon parametrisointi kulmien avulla: voidaan valita \({\bf N}={\bf r}\) kaikissa pisteissä parametrisoinnista riippumatta).
Yllä mainitussa tilanteessa pinnan positiivinen puoli on se, johon normaalivektori osoittaa. Pinnan positiivisen suunnan (positive orientation) valinta tarkoittaa siis käytännössä (yksikkö)normaalin valintaa. Oikean käden säännön mukaan tämä on yhtäpitävää pinnan positiivisen kiertosuunnan valinnan kanssa: kun oikean käden peukalo osoittaa normaalin suuntaan, niin muut sormet osoittavat pinnan positiivisen kiertosuunnan, ja kääntäen.
Möbiuksen nauha (Möbius strip) on tyypillinen esimerkkki sileästä pinnasta, jolla ei ole jatkuvaa (nollasta poikkeavaa) normaalivektorikenttää, eli se ei ole suunnistuva. Tämä pinta saadaan liimaamalla paperisuikaleen päädyt yhteen sen jälkeen, kun toista päätä on kierretty \(180^{\circ}\). Aiheesta lisää myöhemmin, harjoituksissa tai katso Möbiuksen nauha. Tällaisia pintoja kutsutaan yksipuolisiksi. (one-sided surface) Vaikka vektorikentän vuon määritelmä laajennetaan myöhemmin myös epäjatkuvan yksikkönormaalin tapaukseen, ei vuon käsitteestä ole yksipuolisten pintojen tapauksessa juurikaan hyötyä.

Määritelmä 8.1.1

Vektorikentän \({\bf F}\) vuo (Vuolle käytetään joskus merkintää \(\Phi\), mutta \(\Phi\) voi tarkoittaa tilanteesta riippuen myös potentiaalia tms.) suunnatun pinnan \(P\) läpi on pintaintegraali

\[\iint_P {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS,\]

kun \({\bf n}\) on pinnan \(P\) yksikkönormaali, \({\bf n}=\pm {\bf N}/\|{\bf N}\|\). Integroitava funktio \({\bf F}\cdot {\bf n}\) on vektorikentän \({\bf F}\) skalaariprojektio pinnan normaalin \({\bf n}\) suuntaan.

Vektorikentän vuolle käytetään myös merkintää

\[\iint_P {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS = \iint_P {\bf F}\cdot {\bf dS},\]

jossa \(\mathbf{dS}= {\bf n} \, dS\) tulkitaan vektorimuotoiseksi pinta-alkioksi.
Vektorikentän vuota laskettaessa tilanne on usein se, että sekä yksikkönormaali että pinta-alan suurennussuhde lasketaan joko funktion kuvapinnan tai parametrisoinnin avulla. Tällöin

(1)¶\[\mathbf{n}\, dS = \frac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\, \|\mathbf{N}\|\, dA = \mathbf{N}\, dA,\]

ts. skaalaus kertoimella \(\|\mathbf{N}\|\) supistuu turhana välivaiheena pois.
Yksikkönormaalin olemassaolo kaikissa pinnan pisteissä on vektorikentän vuon sovellusten kannalta liian tiukka vaatimus, koska se ei ole voimassa esimerkiksi kuution reunan (tahkot) tapauksessa. Jokaisella kuution tahkolla on kuitenkin oma yksikkönormaalinsa, joiden suunnat voidaan valita niin, että (ainakin intuitiivisesti) voidaan puhua kuution ulkonormaaleista. Kuution särmät ovat normaalien epäjatkuvuuskohtia, mutta yleisessä tapauksessa normaalin kiepsahtaminen epäjatkuvuuskohdassa pinnan ”väärälle”puolelle täytyy pystyä estämään muutenkin kuin intuitiivisesti, jottei vahingossa päädytä Möbiuksen nauhan tyyppisiin pintoihin.
Suunnattu kolmioitu pinta (triangulated surface) \(P\subset {\bf R}^3\): Parametrialueena monikulmio (Käytännössä riittää olettaa, että kyseessä on säännöllinen monikulmio, mutta esimerkiksi piirroksissa on havainnolisempaa käyttää muitakin vaihtoehtoja.) \(M\subset {\bf R}^2\), joka on jaettu kolmioihin (eli kolmioitu). (triangulation) Kahden eri kolmion leikkaus on joko tyhjä, yhteinen kärki tai yhteinen sivu. Jokaisella kolmiolla ja sen reunalla on positiivinen kiertosuunta vastapäivään. Parametrisointi on jatkuva ja jokaisen kolmion sisällä säännöllinen. Lisäksi se on jatkuvasti derivoituva jokaisen kolmion jokaisella sivulla. Parametrialueen sisällä eli joukossa \(M\setminus \partial M\) funktio \({\bf r}\) on injektio, mutta se voi kuvata kaksi eri reunajanaa täsmälleen samaksi käyräksi (eli ”liimata reunajanat yhteen”), jolloin suuntien täytyy olla vastakkaiset.

Pinnan \(P\) reunakäyrä(t) (tai lyhyesti reuna) \(\partial P\) (boundary) muodostuu niiden reunajanojen \(I\subset \partial M\) kuvakäyristä \({\bf r}[I]\), jotka eivät kuvaudu päällekkäin jonkin toisen reunajanan \(J\subset \partial M\) kanssa (eli niitä ei ole liimattu yhteen, ne ”jäävät vapaiksi”.) Pinnan reunassa voi siis olla useampia erillisiä osia. Parametrisointi määrää myös jokaiselle reunakäyrälle positiivisen suunnan, joka ”periytyy”parametrialueen reunan suunnasta (vrt. Greenin kaava). Tälle käytetään nimitystä oikean käden sääntö: (right-hand rule) Jos reunakäyrästä ”otetaan kiinni”oikealla kädellä niin, että peukalo osoittaa käyrän positiiviseen suuntaan, niin muut sormet ”menevät pinnan läpi”normaalin suuntaan.

Esimerkki 8.1.2

Tetraedripinta saadaan jakamalla tasasivuinen kolmio neljään pienempään kolmioon ja liimaamalla kärkikolmioiden vapaat sivut yhteen.

Taitetaan kärkikolmiot ylös ja liimataan reunat yhteen.

Yllä olevassa tilanteessa tason kolmioiden normaalit osoittavat (”paperista”ylöspäin) kohti katsojaa, jolloin taittelun jälkeen niistä tulee pinnan sisänormaaleja. Jos halutaan saada aikaan pinnan ulkonormaaleja, niin uloimmat kolmiot täytyy taitella ”taaksepäin”.

Huomautus 8.1.3

Vaikka kolmioitu pinta muodostetaan kolmioiden avulla, ei se tarkoita sitä, että itse pinnassa olisi aina kolmioiden reunoja vastaavia ”kulmikkaita”kohtia. Esimerkiksi yllä mainitusta tetraedripinnasta saadaan sileä pallon pinta ”puhaltamalla siihen ilmaa”, jolloin tetraedri pullistuu palloksi. Lopputuloksessa kolmioiden saumakohdat eivät erotu muuten kuin taustalla olevan parametrisoinnin kautta. Vastaava ilmiö näkyy myös seuraavassa esimerkissä. Se, että saumakohdissa pinnan normaalia ei voida laskea parametrisoinnin avulla, ei tarkoita sitä, ettei normaalia voi olla olemassa.

Esimerkki 8.1.4

Sylinteripinnan parametrisointia on käsitelty jo aikaisemmin, mutta se voidaan muodostaa myös kolmioituna pintana.

Sylinteripinnan liimaus

Sylinteripinta \(S\) (ilman pohjaa ja kantta) muodostuu kolmioidusta suorakulmiosta, kun pystysuorat punaiset janat taivutetaan taaksepäin ja liimataan yhteen niin, että janojen suunnat ovat vastakkaiset. Näin syntyy suunnattu pinta, jonka reuna \(\partial S\) koostuu kahdesta ympyrärenkaasta. Niiden positiiviset suunnat on merkitty yllä olevaan kuvioon. Yhteen liimattavia punaisia janoja vastaava ”saumakohta”ei enää kuulu pinnan \(S\) reunaan. Kuvan tilanteessa parametrisoinnin avulla laskettu pinnan normaali osoittaa vaakasuoraan sylinterin akselista poispäin.

Esimerkki 8.1.5

Möbiuksen nauha.

Möbiuksen nauhan liimaus

Möbiuksen nauha muodostuu, kun punaiset pystysuorat janat liimataan yhteen 180 asteen kierron jälkeen. Liimattavien janojen suunnat ovat silloin samat, eikä näin saada suunnattua pintaa. Oikealla puolella sivukuva saumakohdasta, jonka eri puolilla parametrisoinnin avulla lasketut pinnan normaalit osoittavat eri suuntiin. Möbiuksen nauhalla ei ole koko pinnalla jatkuvaa yksikkönormaalikenttää. Toinen samantapainen pinta on Kleinin pullo, joka leikkaa itseään (paitsi, jos se tulkitaan pintana 4-ulotteissa avaruudessa).
Huom: Yllä määritelty pinnan \(P\subset\mathbf{R}^3\) reuna \(\partial P\) on eri asia kuin avaruuden \(\mathbf{R}^3\) osajoukon reuna topologisessa mielessä (jolloin \(\partial P=P\) aina!). Näiden käsitteiden erottamiseksi toisistaan pinnan reunan osille voidaan käyttää jo aikaisemmin mainittua nimeä reunakäyrä, joita voi siis olla enemmän kuin yksi (kuten sylinteripinnan reunan kaksi ympyrää). Erityisesti voi olla \(\partial P =\emptyset\) kuten tetraedripinnan tapauksessa, koska alkuperäisen monikulmion kaikki kuusi reunajanaa liimataan pareittain yhteen. Tällöin on kyseessä umpinainen pinta (closed surface). Pintaintegraalille käytetään usein merkintää

\[\oiint_P f\, dS,\]

(kaksinkertainen integraali ympyrän läpi, tätä merkkiä ei löydy suoraan matematiikan latojan listoilta, joten se saattaa näyttäytyä omituisesti.)

jos \(P\) on umpinainen pinta.
Pinnan reunaa voi myös ajatella seuraavalla intuitiivisella tavalla: suunnatulla pinnalla liikkuva hyönteinen voi reunan kohdalla kiepsauttaa itsensä pinnan toiselle puolelle (kuten muurahainen lehdellä), mutta umpinaisella pinnalla kuten pallo tai torus tällaisia kohtia ei ole. Yksipuolisen pinnan kuten Möbiuksen nauhan reunalla kiepsahdus johtaa kuitenkin samalle puolelle kuin alkuperäinen!
Vektorikentän vuo suunnatun kolmioidun pinnan läpi määritellään luonnollisella tavalla laskemalla yhteen vuot kaikkien reunan osien yli. Tämä johtaa lausekkeeseen

\[\iint_P\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = \sum_{\Delta \subset M}\iint_{\br[\Delta]}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS,\]

kun \(\br\colon M\to P\) on pinnan parametrisointi ja summassa ovat mukana kaikki monikulmion \(M\) kolmiot \(\Delta\). Lisäksi kuvajoukko \(\br[\Delta]\subset P\) on kolmiota \(\Delta\) vastaava pinnan \(P\) osa.
Erillisten umpinaisten pintojen rajaama joukko \(D\subset\mathbf{R}^3\) on säännöllinen, jos se voidaan esittää äärellisenä yhdisteenä projisoituvista osista, jotka leikkaavat toisiaan vain reunoilla. Projisoituva tarkoittaa tässä sellaista joukkoa, jossa avaruusintegraalit voidaan laskea missä järjestyksessä tahansa; vrt. kuvat Greenin kaavan yhteydessä.
Käyrien ja pintojen useampiulotteiset vastineet avaruudessa \(\mathbf{R}^n\) ovat monistoja (manifold). Ne määritellään lokaalien parametrisointien avulla.

Esimerkki 8.1.6

”Laatikko ilman kantta”on suunnattu kolmioitu pinta, joka syntyy alla olevasta monikulmiosta taittamalla suorakulmion muotoiset ”läpät”ylös ja liimaamalla niiden vierekkäiset pystysivut yhteen. Läppien pisimmät ulkoreunat jäävät liimaamatta muihin reunajanoihin, joten niiden yhdisteenä syntyy pinnan umpinainen neliön muotoinen reunakäyrä.

Esimerkki 8.1.7

Laske vektorikentän \(\mathbf{F}(x,y,z)=y\bi-x\bj+z\bk\) vuo puolipallon

\[D=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2\le 4,\ z\ge 0\}\]

reunan \(\partial D\) läpi, kun normaalin suunta valitaan joukosta \(D\) ulospäin.

Piilota/näytä ratkaisu

Reuna koostuu kahdesta osasta: \(\partial D=P_1\cup P_2\), jossa \(P_1\) on puolipallon pinta \(x^2+y^2+z^2= 4,\ z\ge 0\), ja \(P_2\) on pohjaympyrä \(x^2+y^2\le 4,\ z= 0\). Pallon säde on \(R=2\), joten pinnan \(P_1\) yksikkönormaali on

\[\mathbf{n}_1=\mathbf{e}_r=\frac{\br}{R}= \frac12\br.\]

Pohjaympyrällä on \(\mathbf{n}_2=-\bk\), kun suunta otetaan huomioon.

Vuointegraalin integroitava funktio on

\[\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}_1 =(y\bi-x\bj+z\bk)\cdot \frac12(x\bi+y\bj+z\bk) =\frac12 z^2 \ \text{ pinnalla }\ P_1\]

\[\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}_2 =(y\bi-x\bj+z\bk)\cdot (-\bk)=-z =0 \ \text{ pinnalla }\ P_2.\]

Tästä seuraa, että

\[\iint_{P_2}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS =0.\]

Pinta \(P_1\) voidaan parametrisoida pallokoordinaattien avulla muodossa

\[\begin{split}\begin{cases} x=2\sin\varphi\cos\theta \\ y=2\sin\varphi\sin\theta\\ z=2\cos\varphi, \end{cases}\end{split}\]

kun \(0\le\varphi\le \pi/2\) ja \(0\le \theta\le 2\pi\). Pinta-alan suurennussuhde on \(R^2\sin\varphi=4\sin\varphi\), joten

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \iint_{P_1}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS &=& \frac12 \iint_{P1} z^2\nonumber\\ &=&\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}(2\cos\varphi)^2\cdot 4\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta\nonumber\\ &=& 8\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos^2\varphi\, d\varphi = \frac{16\pi}{3},\nonumber \end{array}\end{split}\]

sillä integraalifunktio muuttujan \(\varphi\) suhteen on \(-\frac13\cos^3\varphi\).

Kysytty vuo on siis

\[\oiint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS =\frac{16\pi}{3}+0= \frac{16\pi}{3}.\]