\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Avaruuskulma

Avaruuskulma (solid angle) on tavallisen kulman vastine, joka kuvaa sitä, kuinka suuren osan kaikista mahdollisista suunnista jokin kolmiulotteinen kappale tai pinta peittää.

Sijoitetaan katselupiste origoon (0,0,0) ja olkoon tutkittava joukko \(P\subset\R^3\) origon ulkopuolella. Tällöin joukko \(P\) voidaan projisioida säteittäin yksikköpallon \(S(1) \subset\R^3\) pinnalle radiaalisella projektiolla (radial projection)

\[\text{pr} \colon \R^3\setminus \{\overline{0}\} \to S(1), \ \text{pr}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}}{r}.\]

Määritelmä 8.4.1

Joukko \(P\) näkyy origosta katsottuna avaruuskulmassa

\[\Omega =\Omega (P)=\iint_{\text{pr}[P]} 1\, dS = \text{projektion } \text{pr}[P] \text{ pinta-ala yksikköpallolla } S(1).\]
../_images/avaruuskulma.svg

Joukon \(P\) radiaalinen projektio yksikköpallolle.

Kuviossa joukko \(P\) sijaitsee yksikköpallon ulkopuolella, jolloin kaikki pisteet projisoituvat sisäänpäin origoa kohti. Tutkittava joukko voi myös olla kokonaan tai osittain pallon sisäpuolella, jolloin sisäpuolella olevat pisteet projisoituvat origosta poispäin pallon pinnalle.

Avaruuskulman yksikkö on steradiaani (lyh. sr), (steradian) joka on dimensioton kuten radiaanikin, ja jätetään yleensä merkitsemättä. Täysi avaruuskulma on koko yksikköpallon pinta-ala \(4\pi\). Steradiaani kuuluu SI-järjestelmän mittayksikköihin.

Avaruuskulman laskeminen on usein hankalaa alkeellisin menetelmin. Tähän mennessä osaamme käsitellä esimerkiksi sellaiset tapaukset, joissa joukon \(P\) projektio on pallokoordinaatistoon liittyvä koordinaattiruutu

\[\varphi_1\le\varphi\le \varphi_2,\ \theta_1\le\theta\le \theta_2,\]

jonka pinta-ala

\[\Omega = (\theta_2- \theta_1) (\cos \varphi_1-\cos\varphi_2)\]

on laskettu esimerkissä 5.5.4. Tämän erikoistapauksena saadaan mm. pallokalotteja jms. vastaavat avaruuskulmat.

Kolmiulotteisen kappaleen avaruuskulmaan vaikuttaa ainoastaan kappaleen pinta, ja siitäkin vain origoon näkyvä ”etupuoli”. Tämän vuoksi riittää tarkastella avaruuskulmia sellaisille pinnoille, joille origosta lähtevät säteet leikkaavat pinnan korkeintaan yhdessä pisteessä. Tarkemmin sanottuna tällainen pinta \(P\) voidaan parametrisoida yksikäsitteisellä tavalla pallokoordinaattien avulla muodossa

\[r=r(\varphi,\theta).\]

Parametrialue koostuu projektiota \(\text{pr}[P]\) vastaavien kulmien arvoista, mutta seuraavassa esitetään, kuinka tällaisten pintojen avaruuskulma voidaan laskea (Gaussin lauseen avulla) pintaintegraalina suoraan pinnalla \(P\) ilman projektioita!

Lause 8.4.2

Olkoon \(P\subset \R^3\) säännöllinen pinta, jonka reuna \(\partial P\) on paloittain sileä käyrä. Jos \(\mathbf{n}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{e}_r>0\) jokaisessa pisteessä \(\mathbf{r}\in P\setminus\partial P\), niin

\[\Omega(P)=\iint_P\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_r}{r^2}\, dS = \iint_P\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}}{r^3}\, dS.\]

Huomautus 8.4.3

Ehto \(\mathbf{n}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{e}_r>0\) estää pinnan ”laskostumisen”(origosta katsottuna). Sitä voitaisiin lieventää huomattavasti, mutta tämä muotoilu lienee riittävä kaikkien käytännön sovullusten kannalta.

Piilota/näytä todistus

Merkintöjen yksinkertaistamiseksi oletetaan, että pinta \(P\) sijaitsee yksikköpallon ulkopuolella. (Tähän tilanteeseen päästään sopivan homotetian \(\mathbf{r}\mapsto c\,\mathbf{r}\) (skaalaus vakiolla \(c>1\)) avulla, sillä se ei muuta avaruuskulmaa eikä lauseen pintaintegraalia: lauseke \(1/r^2\) skaalautuu kertoimella \(1/c^2\) ja \(dS\) kertoimella \(c^2\), jotka kumoavat toisensa. Toinen vaihtoehto on käyttää seuraavassa päättelyssä yksikköpallon sijasta pientä \(r_0\)-säteistä palloa, jonka ulkopuolella pinta \(P\) sijaitsee.). Sovelletaan Gaussin lausetta radiaaliseen vektorikenttään

(1)\[ \mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{r^3}\br=\frac{1}{r^2}\mathbf{e}_r\]

katkaistussa kartiossa \(K\), jonka (kärki on origossa,) sisäpintana on yksikköpallon joukko \(\text{pr}[P]\) ja ulkopintana alkuperäinen pinta \(P\); edellä olevassa kuviossa kappale \(K\) sijaitsee siis keltaisten pintojen välissä. Suoralla laskulla (tai paljon helpommin käyttämällä kurssin viimeisellä viikolla vastaan tulevaa radiaalisen vektorikentän nabla-kaavaa

\[\nabla\cdot f(r)\mathbf{e}_r = f'(r)+\frac{2}{r}f(r).\]

) nähdään, että \(\nabla\cdot \mathbf{F}=0\) alueessa \(r>0\). Joukon \(K\) reuna jakaantuu kolmeen osaan:

\[\partial K =\text{pr}[P]\cup P\cup V,\]

jossa \(V\) on katkaistun kartion vaippa. Pinnan \(\text{pr}[P]\) normaaliksi valitaan \(-\mathbf{e}_r\), sillä Gaussin lauseessa normaalin täytyy osoittaa joukosta \(K\) ulospäin. Koska \(\mathbf{F}\) on radiaalinen vektorikenttä, niin kartion vaipalla \(V\) on \(\mathbf{F}\perp\mathbf{n}\), ja Gaussin lauseen avulla saadaan

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} 0&=& \iiint_K\nabla\cdot \mathbf{F}\, dV =\oiint_{\partial K}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS\nonumber\\ &=&-\iint_{\text{pr}[P]}\underbrace{\mathbf{F}\cdot \mathbf{e}_r}_{=1}\, dS +\iint_{P}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS +\iint_{V}\underbrace{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}}_{=0}\, dS\nonumber \\ &=& -\Omega (P) +\iint_{P}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS,\nonumber, \end{array}\end{split}\]

josta lauseen yhtälö seuraa.

Esimerkki 8.4.4

Kuinka suuressa avaruuskulmassa näkyy 1-säteinen ympyrän muotoinen levy, kun sitä katsotaan levyn keskinormaalilta 5 metrin päästä?

Piilota/näytä ratkaisu

Tehtävässä tarvitaan joko koordinaattiruudun avaruuskulmakaavaa tai pallokalotin pinta-alakaavaa sekä alkeisgeometriaa. Yksityiskohdat luennolla/laskuharjoituksissa.

Esimerkki 8.4.5

Kuinka suuressa avaruuskulmassa ympyrän muotoinen liikennemerkki

\[P=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid (y-3)^2+z^2\le 1,\ x=4\}\]

näkyy origosta katsottuna?

Piilota/näytä ratkaisu

Koska merkin keskipiste \((4,3,0)\) ei sijaitse \(x\)-kaselilla, niin tilanteesta puuttuu tarvittava symmetria, jotta sen voisi palauttaa edellisen esimerkin tapaukseen. Käytetään siis avaruuskulman laskukaavaa.

Pintaa \(P\) katsotaan origosta, joten täytyy valita \(\mathbf{n}=\mathbf{i}\). Avaruuskulmakaavan integraalin osoittajassa on siis \(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=x=4\). Lisäksi

\[r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{4^2+(3+s\cos \theta)^2+s^2\sin^2\theta} = \sqrt{25+6s\cos\theta +s^2},\]

kun pinta parametrisoidaan \(yz\)-tason napakoordinaattien avulla muodossa

\[x=4, \quad y = 3+s\cos\theta, \quad z=s\sin \theta,\quad 0 \le s \le 1, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.\]
../_images/kyltti.svg

Avaruuskulma saadaan siis integraalista

\[\Omega = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \frac{4s}{(25+6s\cos\theta +s^2)^{3/2}}\, ds\, d\theta \approx 0{,}10;\]

tässä osoittajan \(s\) on napakoordinaatiston pinta-alan suurennussuhde. Sisemmän integraalin voi laskea ohjelmistolla, mutta lopputulos täytyy laskea numeerisesti.

../_images/8-4-5avaruuskulmalasku.svg

Laskut Maplella. ’Int’ on ns. hidastettu käsky, joka säästää (!) laskenta-aikaa, kun ei yritetä (turhaan) laskea tarkkaa arvoa, ja % viittaa edellisen käskyn tulokseen.

Esimerkki 8.4.6

  1. Kuinka suuressa avaruuskulmassa neliö

\[N_1=\{ (x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\}\]

näkyy origosta katsottuna? Montako prosenttia se peittää täydestä avaruuskulmasta \(4\pi\)? Vastauksen voi päätellä symmetrian perusteella tai käyttää pintaintegraalia.

  1. Kuinka suuressa avaruuskulmassa suorakulmio

\[N_2=\{ (x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ z=1\}\]

näkyy origosta katsottuna? Montako prosenttia se peittää täydestä avaruuskulmasta \(4\pi\)?

Vihje: Nyt avaruuskulma \(\Omega\) täytyy laskea pintaintegraalin avulla. Integroinnissa voi käyttää Maplea tms.

Piilota/näytä ratkaisu

Laskuharjoitukset.

Palautusta lähetetään...