\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Napakoordinaatisto

Seuraavassa käsitellään ensin yleisesti käyräviivaisiin koordinaatistoihin liittyviä asioita ja sen jälkeen erikseen pallo- ja sylinterikoordinaatistoja.

Tason napakoordinaatisto oletetaan ennestään tutuksi ja varsinaisena aiheena ovat kolmiulotteisen avaruuden koordinaatistot. Pieni kertaus ei kuitenkaan ole pahitteeksi.

Määritelmä 4.1.1

Tason napakoordinaatit \((r,\theta )\) määritellään muunnoskaavoilla

\[\begin{split}\begin{cases} x= r\cos \theta &\\ y=r\sin \theta, \end{cases}\end{split}\]

kun \(r\ge 0\) ja \(0\le \theta < 2\pi\).

Kayraviivaiset_koordinaatistot/kuvat/napakoord.*

Huomautus 4.1.2

Seuraava teksti ja siihen liittyvä kuva koskevat valintaa \(-\pi < \theta \le \pi\)!

Tällöin \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) ja kulma \(\theta\) määräytyy yhtälöistä \(\cos \theta = x/r\), \(\sin \theta = y/r\). Tapauksessa \(x>0\) saadaan \(\theta = \arctan (y/x)\), mutta arvoilla \(x<0\) kaava on pisteen sijainnista riippuen muotoa \(\theta = \arctan (y/x)\pm \pi\). Origossa \((0,0)\) on \(r=0\), mutta kulmaa \(\theta\) ei ole määritelty. Joissakin tilanteissa kulman \(\theta\) määrittelyväliksi on kätevämpää valita \(-\pi < \theta \le \pi\), jolloin sen ”epäjatkuvuuskohta” siirtyy negatiiviselle \(x\)-akselille. Alla oleva kuva liittyy juuri tähän valintaan ja lisäksi kirjaimet \(\varphi\) ja \(\theta\) ovat vaihtuneet keskenään.

../_images/4-1-2arctan-kaavat.svg

Napakoordinaatiston yksikkövektorit ovat

\[\mathbf{e}_r =\frac{1}{r}\mathbf{r} =\frac{1}{r}(x\, \bi+y\, \bj) =\cos \theta\, \bi +\sin \theta\, \bj\]

ja

\[\mathbf{e}_{\theta} =\frac{1}{r}(-y\, \bi+x\, \bj)= -\sin \theta\, \bi +\cos \theta\, \bj.\]

Tällöin origon ulkopuolella \(\|\mathbf{e}_r\|=\| \mathbf{e}_{\theta}\|=1\), \(\mathbf{e}_r\perp \mathbf{e}_{\theta}\) ja \((\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_{\theta})\) on positiivisesti suunnattu kanta.

Esimerkki 4.1.3

Jos \(u\colon \R^2\to \R\), niin sen esitys napakoordinaateissa on uusi funktio

\[U(r,\theta) = u(r\cos \theta,r\sin \theta).\]

Osoita, että

\[\nabla u =\frac{\partial U}{\partial r}\mathbf{e}_r +\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta}\]

ja

\[\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} +\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 U}{\partial \theta^2} =U_{rr}+\frac{1}{r}U_r +\frac{1}{r^2}U_{\theta\theta}.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Luennolla/harjoituksissa. (Nämä kaavat saadaan myös vastaavista sylinterikoordinaatiston kaavoista jättämällä niistä pois viimeinen eli \(z\)-koordinaatti. Näitä käsitellään systemaattisesti tämän monisteen viimeisessä luvussa). Monissa sovelluksissa kirjoitetaan \(U=u\), vaikka se on tarkasti ottaen väärin. Myös yllä on lyhennetty merkintöjä, sillä \(\nabla u=\nabla u(r\cos\theta,r\sin\theta)\) ja \(\Delta u=\Delta u(r\cos\theta,r\sin\theta)\): ensin lasketaan gradientti tai \(\Delta\), ja sen jälkeen tulokseen sijoitetaan \(x=r\cos \theta\) jne.

Esimerkki 4.1.4

Johda napakoordinaatiston pinta-alan suurennussuhde

\[dA=dx\, dy = r\, dr\, d\theta.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Pieni koordinaattiruutu \(r_0\le r\le r_0+\Delta r\), \(\theta_0\le \theta \le \theta_0+\Delta \theta\) kuvautuu \(xy\)-tason sektorin (keskuskulma \(\Delta \theta\)) ja kahden ympyrän (säteet \(r_0\) ja \(r_0+\Delta r\)) väliin jäävän alueen leikkaukselle, jonka pinta-ala on

\[\Delta A = \frac{\Delta \theta}{2\pi} (\pi(r_0+\Delta r)^2-\pi r_0^2) =r_0\Delta r\Delta \theta +\frac{1}{2}(\Delta r)^2\Delta\theta.\]
Kayraviivaiset_koordinaatistot/kuvat/ssnk.*

Pinta-alan paikallinen suurennussuhde on siis

\[\frac{\Delta A}{\Delta r\Delta \theta} = r_0+\frac{\Delta r}{2} \to r_0,\]

kun \(\Delta r\to 0\) ja \(\Delta \theta \to 0\). Jos suurennussuhteen kaava kirjoitetaan muodossa \(dA = dr\, rd\theta\), niin huomataan sen jakautuvan radiaaliseen etäisyys- ja tangentiaaliseen kaarenpituusosaan.

Palautusta lähetetään...