Pallokoordinaatisto¶
Pallokoordinaatistoon (spherical coordinates) kuuluu radiaalinen etäisyysmuuttuja ja kaksi kulmaa, jotka vastaavat (pienillä eroilla) maapallon pituus- ja leveysasteita. Valitettavasti kulmien valinta ja kaikki merkinnät ovat vielä standardisoimatta, ja esimerkiksi matematiikassa ja fysiikassa käytetään erilaisia valintoja (Ensimmäinen sekaannuskohta on kulmien järjestys: Leveysaste (pystysuora kulma) voidaan maapallolla määrittää tähtitieteellisin keinoin, mutta pituusasteen (vaakasuora kulma) määrittäminen oli vaikeaa ennen tarkkojen kellojen keksimistä. Tämän vuoksi kartoissa kirjoitetaan ensimmäiseksi pystysuora kulma/koordinaatti, vaikka kaikki oppivat jo koulussa, että vaakasuora \(x\)-koordinaatti tulee ensin. Tämä ikävä piirre on historiallisista syistä periytynyt myös pallokoordinaatistoon. Katso myös Wikipedia).
Määritelmä 4.3.1
Pisteen \((x,y,z)\in\R^3\) pallokoordinaatit ovat \((r,\varphi,\theta)\), jossa
on pisteen etäisyys origosta, napakulma \(\varphi \in [0,\pi]\) on pisteen paikkavektorin \(\mathbf{r}\) ja vektorin \(\bk\) välinen kulma sekä atsimuuttikulma \(\theta\in [0,2\pi[\) pisteen tasoprojektion \((x,y)\) kulma napakoordinaateissa.
Kulmaa \(\theta\) ei ole määritelty \(z\)-akselin pisteille, jotka saadaan tapauksissa \(\varphi=0\) ja \(\varphi=\pi\). Lisäksi kulmaa \(\varphi\) ei ole määritelty origossa \((0,0,0)\). Näistä ei tule kuitenkaan suurta häiriötä alla oleviin muunnoskaavoihin, koska ensimmäisessä tapauksessa \(\sin\varphi=0\) ja toisessa \(r=0\) tuottavat kyseessä olevasta koordinaatista pelkän nollan.
Koska \(\cos \varphi = z/r\), niin \(z=r\cos\varphi\). Tällöin
joten \(\sqrt{x^2+y^2}=r\sin\varphi\). Lisäksi napakoordinaatiston kaavoista saadaan
joten muunnoskaavat ovat
ja \(r\ge 0\), \(0\le \varphi\le \pi\), \(0\le \theta < 2\pi\).
Esimerkki 4.3.2
Pisteelle \((x,y,z)=(1,1,-1)\) on \(r=\sqrt{3}\) ja \(\cos\varphi=z/r=-1/\sqrt{3}\), joten
Lisäksi \(\tan\theta=y/x=1\), joten \(\theta=\pi/4\) (koska selvästi \(0<\theta <\pi/2\)). Helpoissa tapauksissa kulmat voi myös päätellä kuviosta.
Pallokoordinaatistoon liittyvät venytyssuhteet ovat
joten yksikkövektoreiksi saadaan
Nämä voi päätellä myös suoraan geometrisesti ilman venytyssuhteiden laskemista. Esimerkkinä lasketaan kuitenkin
josta saadaan
ja edelleen yksikkövektorin \(\mathbf{e}_{\theta}\) lauseke.
Lyhyt tarkistus osoittaa, että pallokoordinaatisto on suorakulmainen ja oikeakätinen (Tämä ominaisuus on yksi syy sille, miksi kulma \(\varphi\) mitataan pohjoisnavalta eikä päiväntasaajalta. Toinen (ja mielestäni parempi) vaihtoehto olisi vaihtaa keskenään kulmien \(\varphi\) ja \(\theta\) järjestys niin, että vaakasuora suunta tulee ensin, jolloin koordinaatisto on oikeakätinen, kun pystysuora kulma mitataan päiväntasaajalta ylöspäin). Pinta-alan ja tilavuuden suurennussuhteisiin palataan myöhemmin pinta- ja avaruusintegraalien yhteydessä, mutta todetaan jo tässä, että \(R\)-säteisen pallon pinnalla pinta-aladifferentiaali on muotoa
ja pallokoordinaatiston tilavuusalkio on
Huomaa, että \(dV = dS\, dr\), jos \(dS\) tulkitaan pinta-alkioksi \(r\)-säteisen pallon pinnalla. Tilavuusalkio jakaantuu siis radiaaliseen etäisyys- ja tangentiaaliseen pinta-ala-osaan.
Tilavuuden suurennussuhteen voi päätellä myös geometrisesti vertaamalla alla olevan kuvion kappaleen tilavuutta pallokoordinaatiston suorakulmaisen särmiön tilavuuteen \(\Delta r\, \Delta\varphi\, \Delta\theta\).
Kuvan kappaletta rajaavat pallonkuoret \(r_0\le r\le r_0+\Delta r\), pystysuorat puolitasot \(\theta_0 \le \theta\le \theta_0+\Delta\theta\) sekä kartiot \(\varphi_0\le \varphi\le \varphi_0+\Delta\varphi\). Tällöin punaisten janojen pituus on \(\Delta r\), sinisten kaarien pituus \(r_0\Delta\varphi\) ja vihreän (katkoviivoitetun) kaaren pituus (Tämä on kuitenkin pituus leveyspiiriä pitkin, eikä tutkittavan joukon leveys, jonka tarkka arvo on hieman pienempi \(2\arcsin (\sin\varphi_0 \cdot\, \sin(\Delta\theta/2))\). Käyttämällä ominaisuuksia \(\arcsin x\approx x\) ja \(\sin t\approx t\) nähdään, että lausekkeet ovat lähes samat pienillä kulmien muutoksilla.) \(r_0\sin \varphi_0 \, \Delta\theta\), joten (suorakulmaisen!) kappaleen tilavuus on suunnilleen \(\Delta V \approx r_0^2\sin \varphi_0\, \Delta r\,\Delta\varphi\, \Delta \theta\).
Maapallon geometriaa¶
Pallokoordinaatiston tutuin sovellus on Maapallo (palloksi tulkittuna) (Tätä aihetta ei yleensä käsitellä tämän tyyppisillä kursseilla, mutta mielestäni on hieman omituista, jos opiskelija hallitsee integroinnin pallon pinnalla, muttei osaa laskea eri pituuspiireillä sijaitsevien paikkojen välistä etäisyyttä Maan pintaa pitkin). Tähän liittyvät seuraavat käsitteet:
Pituusaste eli longitudi (longitude) = vaakasuora kulma \(\lambda = \theta-180^{\circ}\in [-180^{\circ},180^{\circ}]\)
Leveysaste eli (latitude) latitudi = pystysuora kulma \(\phi = 90^{\circ}-\varphi\in [-90^{\circ},90^{\circ}]\), jonka nollakohta on päiväntasaajalla.
Kulman \(\varphi\) englanninkielinen nimi on (colatitude) ’colatitude’ ja sitä kutsutaan tietyissä yhteyksissä myös (zenith angle) zeniittikulmaksi.
Maan pinnan ympyrät (tai kartan viivat), joille \(\varphi=\) vakio, ovat leveyspiirejä eli latitudeja (\(\theta\)-koordinaattiviiva).
Maan pinnan puoliympyrät (tai kartan viivat) ”\(\theta=\) vakio”ovat pituuspiirejä eli meridiaaneja (\(\varphi\)-koordinaattiviiva). (meridian)
Maan keskipisteen kautta kulkevien tasojen ja Maan pinnan leikkauksina syntyy isoympyröitä. (great circle)
Geodeesi (geodesic) = lyhin reitti (Maan pintaa pitkin mitattuna) kahden pisteen välillä = pisteiden kautta kulkevan isoympyrän (lyhyempi) kaari (Ei ole itsestään selvää, että lyhin etäisyys saadaan isoympyröitä pitkin. Tämä voidaan todistaa esimerkiksi variaatiolaskennan avulla, mutta asiaa voi tutkia myös kokeellisesti jännittämällä kuminauha kahden pallon pinnalla olevan pisteen välille. Jännitetyn nauhan potentiaalienergia on suoraan verrannollinen sen pituuteen, jolloin tasapainotilassa nauha asettuu energian, ja samalla pituuden minimikohtaan).
Varsinkin kartoissa asteiden murto-osat ilmoitetaan usein (arc minute) kaariminuutteina \('\) = aste/60 ja kaarisekunteina (arc second) \(''\) = kaariminuutti/60. Merkintä \(\theta = 35^{\circ}\, 15'\, 45''\) muuntuu siis desimaaliluvuksi
Esimerkki 4.3.3
Otetaan Helsingistä (60\(^{\circ}\) N, 25\(^{\circ}\) E) suunta itään: Missä kohdassa saavutaan päiväntasaajalle?
Ratkaisun idea:
Reitti ei suinkaan seuraa Helsingin 60 asteen leveyspiiriä, sillä se vaatisi suunnan tarkistamista itään jokaisen askeleen jälkeen. Oikea reitti on sen isoympyrän kaari, joka sivuaa tätä leveyspiiriä Helsingissä. Sivuamisehdon vuoksi kysytyn tason normaali on sama kuin leveyspiirin normaali eli \(\mathbf{e}_{\varphi}\), jonka avulla saadaan tason yhtälö. Tämän avulla voidaan laskea tason leikkauspisteet päiväntajaajan kanssa. Mutta voisikohan tässä tehtävässä käyttää myös symmetriaan perustuvaa helpompaa tapaa?
Lasketaan ensin kaavoilla: Koska \(\varphi =90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\), niin
Tämä on normaalivektori origon kautta kulkevalle tasolle
Päiväntasaajalla on \(z=0\), joten leikkauskohdassa \(y=0{,}785x/0{,}366\approx -2{,}145x\) eli (Alueessa \(x<0,\ y>0\) arctan-kaavaan tulee \(180^{\circ}\)-asteen lisäys; vrt. kuvio.)
Kuva Pohjoisnavalta katsottuna
Mutta: Tilanteen symmetriaa miettimällä huomataan, että Helsinkiä vastaava piste (”antipodi”) Maapallon vastakkaisella puolella on kohdassa \(\theta = 25^{\circ}+180^{\circ}\), joten puolivälissä päiväntasaajalla
Esimerkki 4.3.4
Määritä lyhin etäisyys Maan pintaa pitkin mitattuna Pariisista P = (49\(^{\circ}\) N, 2\(^{\circ}\) E)
Barcelonaan B = (41\(^{\circ}\) N, 2\(^{\circ}\) E);
Varsovaan W = (52\(^{\circ}\) N, 21\(^{\circ}\) E),
kun Maan säteelle käytetään arvoa \(R=\) 6 371 km. (Asteet pyöristetty kokonaisiksi.)
a) Kaupungit sijaitsevat samalla pituuspiirillä 2\(^{\circ}\) E, ja niiden leveysasteiden erotus on \(\alpha=49^{\circ} -41^{\circ}= 8^{\circ}=2\pi/45\). Lyhin etäisyys saadaan pituuspiiriä pitkin, joten se on
(Vrt. Google Maps 1013 km teitä pitkin.)
b) Ratkaisu on periaatteessa samanlainen kuin a-kohdassa, mutta kaupunkien paikkavektoreiden välinen kulma täytyy laskea pallokoordinaatiston avulla. Kulman laskemiseksi voidaan käyttää yksikkövektoreita
Näin saadaan
joten kysytty etäisyys on
(Vrt. Google Maps 1591 km teitä pitkin ja etäisyys suoraan Maan läpi \(\|R\overline{p}- R\overline{w}\|\approx 1380\)km. Pidemmillä etäisyyksillä ero kasvaa. Mikä on teoreettinen yläraja suhteelle, joka saadaan jakamalla Maan pintaa pitkin mitattu etäisyys suoraan Maan läpi mitatulla etäisyydellä?)
Esimerkki 4.3.5
Lento Pietarista StP = (60\(^{\circ}\) N, 30\(^{\circ}\) E) Magadaniin M = (60\(^{\circ}\) N, 150\(^{\circ}\) E) seuraa lyhintä mahdollista reittiä, eli Maan pintaa pisteiden O = origo = Maan keskipiste, StP ja M määräämässä tasossa.
a) Laske reitin pituus, kun Maan säteelle käytetään arvoa 6 371 km.
Kuinka kaukana pohjoisessa (leveysaste) lentokone matkan aikana käy?
Vihje: Pohjoisin leveysaste ei riipu säteestä, joten laskun voi tehdä käyttämällä paikkavektoreita
(Vastaus: https://www.distance.to/, mutta a-kohdan tulos riippuu säteestä.)
Harjoitustehtävä. Voiko b-kohdassa käyttää symmetriaa?
Mercatorin karttaprojektio\(^*\)¶
Mercatorin karttaprojektiossa Maan pinta projisioidaan sitä päiväntasaajalla sivuavan sylinterin pinnalle, joka leikataan auki ja levitetään (skaalattuna) tasoon; katso esim. Mercatorin projektio. Alkuperäinen menetelmä keksittiin jo vuonna 1569, mutta esimerkiksi Google Maps -karttapalvelu käyttää edelleen tätä projektiota hieman muunneltuna: Web Mercator.
Pituusaste \(\theta\) muuntuu yksinkertaisella tavalla kartan vaakasuoraksi koordinaatiksi: \(x(\theta)= R\theta\), jossa \(R\) on Maan säde. Pystysuoran koordinaatin kaava on paljon hankalampi, sillä kartan täytyy olla (conformal) konforminen eli oikeakulmainen (kulmat ovat samat Maan pinnalla ja kartalla, mikä on tärkeää navigoinnissa). Geometrisella tarkastelulla sille saadaan leveysasteen \(\phi=\pi/2-\varphi\) avulla kaava (Thomas Harriot ja Henry Bond keksivät (toisistaan riippumatta) lopputuloksen numeerisia taulukkoja tutkimalla jo 1600-luvulla ennen differentiaali- ja integraalilaskennan keksimistä!)
Integraalin laskeminen sijoituksella \(x=\tan t/2\) on sopiva tehtävä yhden muuttujan funktioiden integroimistekniikoita käsittelevällä kurssilla (Kaavassa esiintyvän logaritmin vuoksi projektio ei voi olla ”säteittäinen”, ts. Maan keskipiste, Maan pinnan piste ja vastaava sylinterin piste eivät sijaitse (päiväntasaajaa lukuun ottamatta) samalla suoralla. Tämän säteittäisen projektion pystysuora kaava on yksinkertaisesti \(y(\phi ) =R\tan \phi\). Sen nimi on ”keskussylinteriprojektio”(central cylindrical projection)).
Funktioiden \(y(\phi)\) (alempi, sinisellä) ja \(R \tan \phi\) (ylempi, punaisella) kuvaajat (\(R=6\, 371\) km).
Johdetaan seuraavaksi lausekkeen \(y(\phi)\) integraaliesitys. Tarkastellaan kartan pientä suorakulmiota, jonka leveys on \(\Delta x\) ja korkeus \(\Delta y\). Maapallon pinnalla sitä vastaa suorakulmainen koordinaattiruutu \(N\), jonka reunakäyrät kulkevat leveys- ja pituuspiirejä pitkin. Ruudun \(N\) korkeus on \(R\Delta \phi\) ja sen leveys päiväntasaajalla on \(R\Delta \lambda\), kun \(\phi\) on leveysaste ja \(\lambda\) pituusaste. Pallokoordinaatiston ominaisuuksien vuoksi leveys kuitenkin pienenee kertoimella \(\sin\varphi\) kohti napoja. Koska \(\varphi=\pi/2-\phi\), niin leveys on muotoa \(R\sin (\pi/2-\phi)\, \Delta\lambda = R\cos \phi \, \Delta \lambda\).
Konformisuusvaatimuksen perusteella kuvioon merkityt kulmat ovat samat: \(\alpha=\beta\). Koska
ja
niin
Tästä seuraa, että
Rajalla \(\Delta\phi\to 0\) saadaan siis yhtälö \(y'(\phi)=R/\! \cos\phi\). Koska \(y\)-koordinaatin nollakohta on päiväntasaajalla, niin lisäksi \(y(0)=0\). Näistä ehdoista seuraa, että
Eulerin kulmat\(^*\)¶
Mainitaan lyhyesti, että kolmiulotteisen kappaleen asentoa tietyn kiinteän koordinaatiston suhteen voidaan kuvata kolmella kulmalla, joita kutsutaan (Euler angles) Eulerin kulmiksi. Nämä sopivat joihinkin tilanteisiin paremmin kuin pallokoordinaatisto. Lisätietoja.