\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Permutaatiosymboli
\(\epsilon_{ijk}\)
(Tullio Levi-Civita 1873–1941)
Olkoon \(i,j,k\in \{ 1,2,3\}\) ja merkitään standardikannan ortonormaaleja yksikkövektoreita
\(\mathbf{e}_1=\mathbf{i}=[1,0,0]^T\), \(\mathbf{e}_2=\mathbf{j}=[0,1,0]^T\) ja
\(\mathbf{e}_3=\mathbf{k}=[0,0,1]^T\).
Kolmen indeksin permutaatiosymboli (Yleisesti permutaatiolla tarkoitetaan
äärellisen joukon bijektiota itselleen, erityisesti joukon \(\{ 1,2,3,\dots, n\}\)
tapauksessa, jolloin merkintä \(p=k_1k_2\dots k_n\) tai usein \((k_1,k_2,\dots, k_n)\) tarkoittaa funktiota
\(1\mapsto k_1,\dots,n\mapsto k_n\).
Tällaisen permutaation \(p\) merkki (signum) on \(\sigma_p=(-1)^m\), jos
\(123\dots n\) voidaan muuttaa järjestykseen \(p\) käyttämällä \(m\) kpl kahden alkion vaihtoja.
Tarvittavat vaihdot voidaan valita monella eri tavalla, mutta voidaan osoittaa, että
kullekin permutaatiolle vaihtojen lukumäärä \(m\) on joko aina parillinen tai aina pariton.
Permutaatiosymbolin \(\epsilon_{ijk}\) määritelmä on laajennettu 0-arvoisena myös siihen
tapaukseen, jossa jokin indeksi esiintyy useamman kerran, eikä kyseessä tarkasti ottaen
ole enää permutaatio (koska se ei ole bijektio).
Kahden indeksin tapauksessa on \(\epsilon_{12}=1\), \(\epsilon_{21}= -1\)
ja \(\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=0\), mutta tätä tapausta ei tarvita tällä kurssilla.)
\(\epsilon_{ijk}\) määritellään asettamalla (Levi-Civita symbol)
\[\epsilon_{ijk} = \det \big( [\mathbf{e}_i | \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_k]\big),\]
kun matriisin \([\mathbf{e}_i | \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_k]\) sarakkeina ovat annetut
yksikkövektorit. Esimerkiksi \(\epsilon_{123}= \det (I) = 1\), ja yleisemmin
permutaatiosymbolin arvo 1, \(-1\) tai 0 kertoo sen, muodostavatko
matriisiin valitut yksikkövektorit tässä järjestyksessä oikea- vai vasenkätisen kannan, vai toistuuko
jokin vektori, jolloin det = 0, eikä kyseessä ole kanta ollenkaan.
Standardikannan sijasta määritelmässä voidaan käyttää mitä tahansa
oikeakätistä ortonormaalia kantaa \((\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3)\).
Determinantin ominaisuuksien
tai alkeellisten kokeilujen perusteella permutaatiosymbolille saadaan konkreettinen sääntö
\[\begin{split}\epsilon_{ijk} =
\begin{cases}
1, & \text{ jos } ijk = 123,\ 312 \text{ tai } 231,\\
-1, & \text{ jos } ijk = 132,\ 213 \text{ tai } 321,\\
0, & \text{ jos sama indeksi esiintyy kaksi tai kolme kertaa.}
\end{cases}\end{split}\]
Nollasta poikkeavat tapaukset on helppo muistaa kiertovaihtelusäännön
\[i\to j\to k \to i\]
avulla,
jossa viimeinen indeksi siirtyy alkuun ja kahden muun järjestys pysyy ennallaan:
\(\epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}=\epsilon_{jki}\). Sama pätee myös vastakkaiseen suuntaan
tai kaksi kertaa peräkkäin sovellettuna.
Sen sijaan kahden indeksin vaihtaminen
keskenään muuttaa etumerkin, esimerkiksi \(\epsilon_{jik}=-\epsilon_{ijk}\). Nämä
seuraavat suoraat determinantin ominaisuuksista tai voidaan myös helposti tarkistaa
yllä olevan tapauskohtaisen jaottelun avulla.
Ristitulo
Permutaatiosymbolin avulla ristitulon komponentit voidaan esittää tiiviissä
muodossa. Tarkastellaan lauseketta \(\epsilon_{ijk}a_ib_j\), jossa \(k\) on vapaa
indeksi ja \(i,j\) summausindeksejä; kirjoitetaan näkyville vain nollasta poikkeavat termit:
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
k=1: & &\ \epsilon_{ij1}a_ib_j = \epsilon_{231}a_2b_3+\epsilon_{321}a_3b_2
=a_2b_3-a_3b_2 \nonumber \\
k=2: & &\ \epsilon_{ij2}a_ib_j = \epsilon_{132}a_1b_3+\epsilon_{312}a_3b_1
=a_3b_1-a_1b_3 \nonumber \\
k=3: & &\ \epsilon_{ij3}a_ib_j = \epsilon_{123}a_1b_2+\epsilon_{213}a_2b_1
=a_1b_2-a_2b_1 \nonumber
\end{array}\end{split}\]
Huomataan, että tulokset ovat täsmälleen samat kuin ristitulon komponentit, joten
\[[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_k = \epsilon_{ijk}a_ib_j, \ \text{ kun } k=1,2,3.\]
Vektorikentän pyörteisyydelle saadaan siis lauseke
\[[\nabla \times \mathbf{F}]_k = \epsilon_{ijk}\partial_iF_j, \ \text{ kun } k=1,2,3.\]
Esimerkki 9.4.1
Perustele nablakaava
\[\nabla\times (f\mathbf{F}) = (\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F}).\]
Piilota/näytä ratkaisu
Kyseessä on vektorimuotoinen kaava, joten se voidaan perustella
komponenteittain arvoilla \(k=1,2,3\). Tulon derivoimisäännön mukaan
\[\partial_i(fF_j) = (\partial_if)F_j+f\partial_iF_j,\]
joten
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
[\nabla\times (f\mathbf{F})]_k &=& \epsilon_{ijk}\partial_i[f\mathbf{F}]_j
=\epsilon_{ijk}\partial_i(fF_j)\nonumber\\
&=& \epsilon_{ijk}(\partial_if)F_j+f\epsilon_{ijk}\partial_iF_j\nonumber\\
&=& \epsilon_{ijk}[\nabla f]_iF_j + f[\nabla\times \mathbf{F}]_k\nonumber\\
&=& [(\nabla f) \times \mathbf{F}]_k + [f(\nabla\times \mathbf{F})]_k\nonumber\\
&=&[(\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F})]_k\nonumber
\end{array}\end{split}\]
kaikilla \(k=1,2,3\).
Seuraavan lauseen kaavassa esiintyy neljä vapaata indeksiä \(1\le i,j,l,m\le 3\), joten
erilaisia kaavoja on yhteensä \(3^4=81\) kappaletta. Kaikki nämä ovat muotoa \(0=0\), \(1=1\)
tai \(-1=-1\), mutta permutaatiosymbolin tehokkuus perustuu juuri siihen, että kaikki
tapaukset voidaan kirjoittaa yhdellä yleisellä kaavalla.
Lause 9.4.2
Permutaatiosymbolille pätee
\[\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.\]
Piilota/näytä todistus
Lause todistetaan yleensä tutkimalla eri tapauksia, joiden
lukumäärää voi pienentää symmetriaa ja kiertovaihtelua käyttämällä. Seuraava
todistus toimii kuitenkin suoraan yleisessä tapauksessa.
Kirjoitetaan symbolit determinanttien avulla muodossa
\[\epsilon_{ijk} =\det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T\big) \ \text{ ja }\
\epsilon_{klm} =\det \big( [\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m]\big),\]
joista ensimmäisessä käytettiin tietoa \(\det \big(A^T\big)=\det A\). Koska neliömatriiseille
\(\det(AB)=\det A\cdot \det B\) ja
matriisitulon alkiot lasketaan rivi- ja sarakevektoreiden pistetuloina, niin
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} &=& \det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T\big)
\det \big( [\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m]\big)
=\det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T[\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m] \big)\nonumber\\
&=& \left| \begin{matrix}
\mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_m\\
\mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_m\\
\mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_m\\
\end{matrix} \right|
= \left| \begin{matrix}
\delta_{ik} &\delta_{il} &\delta_{im} \\
\delta_{jk} &\delta_{jl} &\delta_{jm} \\
\delta_{kk} &\delta_{kl} &\delta_{km} \\
\end{matrix} \right|
= \left| \begin{matrix}
\delta_{ik} &\delta_{il} &\delta_{im} \\
\delta_{jk} &\delta_{jl} &\delta_{jm} \\
1 &\delta_{kl} &\delta_{km} \\
\end{matrix} \right| . \nonumber
\end{array}\end{split}\]
Kehittämällä determinantti ensimmäisen sarakkeen mukaan saadaan
\[\begin{split}\delta_{ik}\left| \begin{matrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{kl} &\delta_{km} \\ \end{matrix}\right|
- \delta_{jk} \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{kl} &\delta_{km} \\
\end{matrix} \right|
+ \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right| .\end{split}\]
Viimeistään tässä vaiheessa täytyy muistaa, että summaussääntö on käytössä indeksin \(k\) suhteen. Kun kaavojen
ensimmäiset termit lasketaan yhteen arvoilla \(k=1,2,3\), niin kertoimen \(\delta_{ik}\) vuoksi jäljelle jää
ainoastaan yksi termi, jossa \(k=i\). Vastaavasti keskimmäisten termien summaan jää vain arvoa \(k=j\) vastaava
yksi termi. Viimeiset lausekkeet eivät riipu indeksistä \(k\) lainkaan, joten näiden ”vakiotermien”summa saadaan
kertomalla luvulla 3. Yhteensä kaikki yhdeksän termiä tuottavat
\[\begin{split}\left| \begin{matrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{il} &\delta_{im} \\ \end{matrix}\right|
- \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\
\end{matrix} \right|
+ 3\left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right|
= \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right|
=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},\end{split}\]
kun ensimmäisessä determinatissa vaihdetaan rivien järjestys, jolloin etumerkki vaihtuu.
Väite on siis todistettu.
Esimerkki 9.4.3
Osoita, että
\[(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d})
=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d})
-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}).\]
Piilota/näytä ratkaisu
Kyseessä on skalaarimuotoinen kaava, joten kaikki seuraavassa laskussa
esiintyvät indeksit ovat summausindeksejä. Kirjoittamalla piste- ja ristitulot
auki ja käyttämällä edellisen lauseen kaavaa saadaan
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) &=&
[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_k [\mathbf{c} \times \mathbf{d}]_k \nonumber\\
&=&\epsilon_{ijk}a_ib_j\epsilon_{mnk}c_md_n =\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}a_ib_jc_md_n \nonumber\\
&=&(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})a_ib_jc_md_n
=a_ib_jc_id_j-a_ib_jc_jd_i\nonumber\\
&=& (a_ic_i)(b_jd_j)-(a_id_i)(b_jc_j)\nonumber\\
&=& (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d})
-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}).\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Keskimmäisellä kaavarivillä indeksit \(m\) ja \(n\) korvattiin \(\delta\)-symbolin ominaisuuksien perusteella
indekseillä \(i\) tai \(j\), mutta yhtä hyvin olisi voitu korvata \(i\) ja \(j\) indekseillä
\(m\) tai \(n\).
Esimerkki 9.4.4
Sievennä lauseke
\[\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F}).\]
Piilota/näytä ratkaisu
Kyseessä on vektoreita koskeva kaava, joten tarkastellaan lausekkeen yleistä
komponenttia \(k\in\{ 1,2,3\}\):
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
[\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F})]_k &=& \epsilon_{ijk}\partial_i[\nabla \times\mathbf{F}]_j
=\epsilon_{ijk}\partial_i(\epsilon_{lmj}\partial_lF_m)\nonumber\\
&=&\epsilon_{kij}\epsilon_{jlm}\partial_i\partial_lF_m\ (\text{kiertovaihtelun avulla})\nonumber\\
&=&(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_i\partial_lF_m
=\partial_i\partial_kF_i-\partial_i\partial_iF_k
\nonumber\\
&=& \partial_k(\partial_iF_i)-\Delta F_k
=[\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})]_k-[\Delta \mathbf{F}]_k\nonumber\\
&=&[\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}]_k.\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Huomaa, että kolmannella kaavarivillä lausekkeen \(\delta_{im}\) vuoksi jäljelle voi jäädä
kumpi tahansa indeksi \(i\) tai \(m\) ja tässä on valittu vaihtoehto \(m\mapsto i\). Sen sijaan
lausekkeen \(\delta_{kl}\) vuoksi on välttämättä sijoitettava \(l\mapsto k\), sillä vapaa
indeksi \(k\) ei voi kadota laskusta.
Tuloksena saadaan vektorimuotoinen kaava
\[\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F}) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}.\]
Esimerkki 9.4.5
Osoita Maxwellin yhtälöiden 7.2.8 ja edellisen esimerkin kaavan avulla, että sähkökentän
voimakkuus \(\mathbf{E}(\mathbf{r},t)\) tyhjiössä toteuttaa aaltoyhtälön (Myös magneettivuon
tiheys \(\mathbf{B}\) toteuttaa saman yhtälön. Aaltoyhtälön \(u_{tt}=c^2\Delta u\) kertoimesta
\(c^2\) voidaan päätellä aallon etenemisnopeus \(c\). Esimerkin perusteella
sähkömagneettisen säteilyn (eli valon) nopeus \(c\) tyhjiössä toteuttaa \(c^2=1/\epsilon_0\mu_0\).)
\[\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E} =\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\Delta \mathbf{E}.\]
Tässä tapauksessa vektorimuotoinen yhtälö tarkoittaa sitä, että jokainen komponentti \(E_k\)
toteuttaa erikseen skalaarimuotoisen aaltoyhtälön
\[\frac{\partial^2E_k}{\partial t^2} =\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\Delta E_k, \ k=1,2,3.\]
Piilota/näytä ratkaisu
Tyhjiössä pätee \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\),
ja lisäksi varaustiheys \(\rho\) ja virtatiheys \(\mathbf{J}\) ovat nollia. Maxwellin yhtälöistä
\(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\) ja
\(\nabla\times \mathbf{B}=\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\) seuraa, että
\[\nabla\times (\nabla\times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times \mathbf{B})
=-\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},\]
sillä pyörteisyyden (paikkaderivaattoja) ja aikaderivaatan järjestyksen voi vaihtaa.
Edellisen esimerkin kaavan mukaan
\[\nabla\times (\nabla\times \mathbf{E}) = \nabla (\underbrace{\nabla\cdot\mathbf{E}}_{=0})-\Delta\mathbf{E}
= -\Delta\mathbf{E}\]
Maxwellin I yhtälön perusteella. Väite seuraa tästä.
Esimerkki 9.4.6
Tarkastellaan hyrrää, jonka pyörimistä kuvaa akselin suuntainen vektori \(\overline{\omega}\),
ja \(\|\overline{\omega}\|= \omega\) on hyrrän kulmanopeus. Jos hyrrän tukipiste on origossa,
niin ristitulon ominaisuuksien perusteella hyrrän pisteen \(\mathbf{r}\) hetkellinen nopeus on
\(\mathbf{v}=\overline{\omega}\times \mathbf{r}\). Osoita nablakaavojen avulla,
että (Tämäkin tulos tukee termin
”pyörteisyys”käyttöä, sillä kaavan mukaan nopeuskentän pyörteisyys liittyy pyörimisakseliin ja
kulmanopeuteen. Tilanne on toki hieman erilainen esimerkiksi nesteen virtauskentässä.)
\[\overline{\omega}=\frac{1}{2}\nabla\times \mathbf{v}.\]
Esimerkki 9.4.7
Osoita, että
\[\mathbf{u}\times (\nabla\times \mathbf{u}) =\frac12 \nabla \| \mathbf{u}\|^2
- (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u}.\]