\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Permutaatiosymboli

\(\epsilon_{ijk}\)

(Tullio Levi-Civita 1873–1941)

Olkoon \(i,j,k\in \{ 1,2,3\}\) ja merkitään standardikannan ortonormaaleja yksikkövektoreita \(\mathbf{e}_1=\mathbf{i}=[1,0,0]^T\), \(\mathbf{e}_2=\mathbf{j}=[0,1,0]^T\) ja \(\mathbf{e}_3=\mathbf{k}=[0,0,1]^T\). Kolmen indeksin permutaatiosymboli (Yleisesti permutaatiolla tarkoitetaan äärellisen joukon bijektiota itselleen, erityisesti joukon \(\{ 1,2,3,\dots, n\}\) tapauksessa, jolloin merkintä \(p=k_1k_2\dots k_n\) tai usein \((k_1,k_2,\dots, k_n)\) tarkoittaa funktiota \(1\mapsto k_1,\dots,n\mapsto k_n\). Tällaisen permutaation \(p\) merkki (signum) on \(\sigma_p=(-1)^m\), jos \(123\dots n\) voidaan muuttaa järjestykseen \(p\) käyttämällä \(m\) kpl kahden alkion vaihtoja. Tarvittavat vaihdot voidaan valita monella eri tavalla, mutta voidaan osoittaa, että kullekin permutaatiolle vaihtojen lukumäärä \(m\) on joko aina parillinen tai aina pariton. Permutaatiosymbolin \(\epsilon_{ijk}\) määritelmä on laajennettu 0-arvoisena myös siihen tapaukseen, jossa jokin indeksi esiintyy useamman kerran, eikä kyseessä tarkasti ottaen ole enää permutaatio (koska se ei ole bijektio). Kahden indeksin tapauksessa on \(\epsilon_{12}=1\), \(\epsilon_{21}= -1\) ja \(\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=0\), mutta tätä tapausta ei tarvita tällä kurssilla.) \(\epsilon_{ijk}\) määritellään asettamalla (Levi-Civita symbol)

\[\epsilon_{ijk} = \det \big( [\mathbf{e}_i | \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_k]\big),\]

kun matriisin \([\mathbf{e}_i | \mathbf{e}_j | \mathbf{e}_k]\) sarakkeina ovat annetut yksikkövektorit. Esimerkiksi \(\epsilon_{123}= \det (I) = 1\), ja yleisemmin permutaatiosymbolin arvo 1, \(-1\) tai 0 kertoo sen, muodostavatko matriisiin valitut yksikkövektorit tässä järjestyksessä oikea- vai vasenkätisen kannan, vai toistuuko jokin vektori, jolloin det = 0, eikä kyseessä ole kanta ollenkaan. Standardikannan sijasta määritelmässä voidaan käyttää mitä tahansa oikeakätistä ortonormaalia kantaa \((\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3)\). Determinantin ominaisuuksien tai alkeellisten kokeilujen perusteella permutaatiosymbolille saadaan konkreettinen sääntö

\[\begin{split}\epsilon_{ijk} = \begin{cases} 1, & \text{ jos } ijk = 123,\ 312 \text{ tai } 231,\\ -1, & \text{ jos } ijk = 132,\ 213 \text{ tai } 321,\\ 0, & \text{ jos sama indeksi esiintyy kaksi tai kolme kertaa.} \end{cases}\end{split}\]

Nollasta poikkeavat tapaukset on helppo muistaa kiertovaihtelusäännön

\[i\to j\to k \to i\]

avulla, jossa viimeinen indeksi siirtyy alkuun ja kahden muun järjestys pysyy ennallaan: \(\epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}=\epsilon_{jki}\). Sama pätee myös vastakkaiseen suuntaan tai kaksi kertaa peräkkäin sovellettuna. Sen sijaan kahden indeksin vaihtaminen keskenään muuttaa etumerkin, esimerkiksi \(\epsilon_{jik}=-\epsilon_{ijk}\). Nämä seuraavat suoraat determinantin ominaisuuksista tai voidaan myös helposti tarkistaa yllä olevan tapauskohtaisen jaottelun avulla.

Ristitulo

Permutaatiosymbolin avulla ristitulon komponentit voidaan esittää tiiviissä muodossa. Tarkastellaan lauseketta \(\epsilon_{ijk}a_ib_j\), jossa \(k\) on vapaa indeksi ja \(i,j\) summausindeksejä; kirjoitetaan näkyville vain nollasta poikkeavat termit:

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} k=1: & &\ \epsilon_{ij1}a_ib_j = \epsilon_{231}a_2b_3+\epsilon_{321}a_3b_2 =a_2b_3-a_3b_2 \nonumber \\ k=2: & &\ \epsilon_{ij2}a_ib_j = \epsilon_{132}a_1b_3+\epsilon_{312}a_3b_1 =a_3b_1-a_1b_3 \nonumber \\ k=3: & &\ \epsilon_{ij3}a_ib_j = \epsilon_{123}a_1b_2+\epsilon_{213}a_2b_1 =a_1b_2-a_2b_1 \nonumber \end{array}\end{split}\]

Huomataan, että tulokset ovat täsmälleen samat kuin ristitulon komponentit, joten

\[[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_k = \epsilon_{ijk}a_ib_j, \ \text{ kun } k=1,2,3.\]

Vektorikentän pyörteisyydelle saadaan siis lauseke

\[[\nabla \times \mathbf{F}]_k = \epsilon_{ijk}\partial_iF_j, \ \text{ kun } k=1,2,3.\]

Esimerkki 9.4.1

Perustele nablakaava

\[\nabla\times (f\mathbf{F}) = (\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F}).\]
Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on vektorimuotoinen kaava, joten se voidaan perustella komponenteittain arvoilla \(k=1,2,3\). Tulon derivoimisäännön mukaan

\[\partial_i(fF_j) = (\partial_if)F_j+f\partial_iF_j,\]

joten

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} [\nabla\times (f\mathbf{F})]_k &=& \epsilon_{ijk}\partial_i[f\mathbf{F}]_j =\epsilon_{ijk}\partial_i(fF_j)\nonumber\\ &=& \epsilon_{ijk}(\partial_if)F_j+f\epsilon_{ijk}\partial_iF_j\nonumber\\ &=& \epsilon_{ijk}[\nabla f]_iF_j + f[\nabla\times \mathbf{F}]_k\nonumber\\ &=& [(\nabla f) \times \mathbf{F}]_k + [f(\nabla\times \mathbf{F})]_k\nonumber\\ &=&[(\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F})]_k\nonumber \end{array}\end{split}\]

kaikilla \(k=1,2,3\).

Seuraavan lauseen kaavassa esiintyy neljä vapaata indeksiä \(1\le i,j,l,m\le 3\), joten erilaisia kaavoja on yhteensä \(3^4=81\) kappaletta. Kaikki nämä ovat muotoa \(0=0\), \(1=1\) tai \(-1=-1\), mutta permutaatiosymbolin tehokkuus perustuu juuri siihen, että kaikki tapaukset voidaan kirjoittaa yhdellä yleisellä kaavalla.

Lause 9.4.2

Permutaatiosymbolille pätee

\[\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.\]
Piilota/näytä todistus

Lause todistetaan yleensä tutkimalla eri tapauksia, joiden lukumäärää voi pienentää symmetriaa ja kiertovaihtelua käyttämällä. Seuraava todistus toimii kuitenkin suoraan yleisessä tapauksessa.

Kirjoitetaan symbolit determinanttien avulla muodossa

\[\epsilon_{ijk} =\det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T\big) \ \text{ ja }\ \epsilon_{klm} =\det \big( [\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m]\big),\]

joista ensimmäisessä käytettiin tietoa \(\det \big(A^T\big)=\det A\). Koska neliömatriiseille \(\det(AB)=\det A\cdot \det B\) ja matriisitulon alkiot lasketaan rivi- ja sarakevektoreiden pistetuloina, niin

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} &=& \det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T\big) \det \big( [\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m]\big) =\det \big( [\mathbf{e}_i|\mathbf{e}_j|\mathbf{e}_k]^T[\mathbf{e}_k|\mathbf{e}_l|\mathbf{e}_m] \big)\nonumber\\ &=& \left| \begin{matrix} \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_m\\ \mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_j\cdot \mathbf{e}_m\\ \mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_k & \mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_l & \mathbf{e}_k\cdot \mathbf{e}_m\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \delta_{ik} &\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jk} &\delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{kk} &\delta_{kl} &\delta_{km} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \delta_{ik} &\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jk} &\delta_{jl} &\delta_{jm} \\ 1 &\delta_{kl} &\delta_{km} \\ \end{matrix} \right| . \nonumber \end{array}\end{split}\]

Kehittämällä determinantti ensimmäisen sarakkeen mukaan saadaan

\[\begin{split}\delta_{ik}\left| \begin{matrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{kl} &\delta_{km} \\ \end{matrix}\right| - \delta_{jk} \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{kl} &\delta_{km} \\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right| .\end{split}\]

Viimeistään tässä vaiheessa täytyy muistaa, että summaussääntö on käytössä indeksin \(k\) suhteen. Kun kaavojen ensimmäiset termit lasketaan yhteen arvoilla \(k=1,2,3\), niin kertoimen \(\delta_{ik}\) vuoksi jäljelle jää ainoastaan yksi termi, jossa \(k=i\). Vastaavasti keskimmäisten termien summaan jää vain arvoa \(k=j\) vastaava yksi termi. Viimeiset lausekkeet eivät riipu indeksistä \(k\) lainkaan, joten näiden ”vakiotermien”summa saadaan kertomalla luvulla 3. Yhteensä kaikki yhdeksän termiä tuottavat

\[\begin{split}\left| \begin{matrix} \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \delta_{il} &\delta_{im} \\ \end{matrix}\right| - \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right| + 3\left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}\delta_{il} &\delta_{im} \\ \delta_{jl} &\delta_{jm} \\ \end{matrix} \right| =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},\end{split}\]

kun ensimmäisessä determinatissa vaihdetaan rivien järjestys, jolloin etumerkki vaihtuu. Väite on siis todistettu.

Esimerkki 9.4.3

Osoita, että

\[(\mathbf{a} \times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) =(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) -(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}).\]
Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on skalaarimuotoinen kaava, joten kaikki seuraavassa laskussa esiintyvät indeksit ovat summausindeksejä. Kirjoittamalla piste- ja ristitulot auki ja käyttämällä edellisen lauseen kaavaa saadaan

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) &=& [\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_k [\mathbf{c} \times \mathbf{d}]_k \nonumber\\ &=&\epsilon_{ijk}a_ib_j\epsilon_{mnk}c_md_n =\epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}a_ib_jc_md_n \nonumber\\ &=&(\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm})a_ib_jc_md_n =a_ib_jc_id_j-a_ib_jc_jd_i\nonumber\\ &=& (a_ic_i)(b_jd_j)-(a_id_i)(b_jc_j)\nonumber\\ &=& (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) -(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}).\nonumber \end{array}\end{split}\]

Keskimmäisellä kaavarivillä indeksit \(m\) ja \(n\) korvattiin \(\delta\)-symbolin ominaisuuksien perusteella indekseillä \(i\) tai \(j\), mutta yhtä hyvin olisi voitu korvata \(i\) ja \(j\) indekseillä \(m\) tai \(n\).

Esimerkki 9.4.4

Sievennä lauseke

\[\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F}).\]
Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on vektoreita koskeva kaava, joten tarkastellaan lausekkeen yleistä komponenttia \(k\in\{ 1,2,3\}\):

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} [\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F})]_k &=& \epsilon_{ijk}\partial_i[\nabla \times\mathbf{F}]_j =\epsilon_{ijk}\partial_i(\epsilon_{lmj}\partial_lF_m)\nonumber\\ &=&\epsilon_{kij}\epsilon_{jlm}\partial_i\partial_lF_m\ (\text{kiertovaihtelun avulla})\nonumber\\ &=&(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})\partial_i\partial_lF_m =\partial_i\partial_kF_i-\partial_i\partial_iF_k \nonumber\\ &=& \partial_k(\partial_iF_i)-\Delta F_k =[\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})]_k-[\Delta \mathbf{F}]_k\nonumber\\ &=&[\nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}]_k.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Huomaa, että kolmannella kaavarivillä lausekkeen \(\delta_{im}\) vuoksi jäljelle voi jäädä kumpi tahansa indeksi \(i\) tai \(m\) ja tässä on valittu vaihtoehto \(m\mapsto i\). Sen sijaan lausekkeen \(\delta_{kl}\) vuoksi on välttämättä sijoitettava \(l\mapsto k\), sillä vapaa indeksi \(k\) ei voi kadota laskusta. Tuloksena saadaan vektorimuotoinen kaava

\[\nabla\times (\nabla \times\mathbf{F}) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}.\]

Esimerkki 9.4.5

Osoita Maxwellin yhtälöiden 7.2.8 ja edellisen esimerkin kaavan avulla, että sähkökentän voimakkuus \(\mathbf{E}(\mathbf{r},t)\) tyhjiössä toteuttaa aaltoyhtälön (Myös magneettivuon tiheys \(\mathbf{B}\) toteuttaa saman yhtälön. Aaltoyhtälön \(u_{tt}=c^2\Delta u\) kertoimesta \(c^2\) voidaan päätellä aallon etenemisnopeus \(c\). Esimerkin perusteella sähkömagneettisen säteilyn (eli valon) nopeus \(c\) tyhjiössä toteuttaa \(c^2=1/\epsilon_0\mu_0\).)

\[\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E} =\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\Delta \mathbf{E}.\]

Tässä tapauksessa vektorimuotoinen yhtälö tarkoittaa sitä, että jokainen komponentti \(E_k\) toteuttaa erikseen skalaarimuotoisen aaltoyhtälön

\[\frac{\partial^2E_k}{\partial t^2} =\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\Delta E_k, \ k=1,2,3.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Tyhjiössä pätee \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}\) ja \(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\), ja lisäksi varaustiheys \(\rho\) ja virtatiheys \(\mathbf{J}\) ovat nollia. Maxwellin yhtälöistä \(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\) ja \(\nabla\times \mathbf{B}=\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\) seuraa, että

\[\nabla\times (\nabla\times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times \mathbf{B}) =-\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},\]

sillä pyörteisyyden (paikkaderivaattoja) ja aikaderivaatan järjestyksen voi vaihtaa. Edellisen esimerkin kaavan mukaan

\[\nabla\times (\nabla\times \mathbf{E}) = \nabla (\underbrace{\nabla\cdot\mathbf{E}}_{=0})-\Delta\mathbf{E} = -\Delta\mathbf{E}\]

Maxwellin I yhtälön perusteella. Väite seuraa tästä.

Esimerkki 9.4.6

Tarkastellaan hyrrää, jonka pyörimistä kuvaa akselin suuntainen vektori \(\overline{\omega}\), ja \(\|\overline{\omega}\|= \omega\) on hyrrän kulmanopeus. Jos hyrrän tukipiste on origossa, niin ristitulon ominaisuuksien perusteella hyrrän pisteen \(\mathbf{r}\) hetkellinen nopeus on \(\mathbf{v}=\overline{\omega}\times \mathbf{r}\). Osoita nablakaavojen avulla, että (Tämäkin tulos tukee termin ”pyörteisyys”käyttöä, sillä kaavan mukaan nopeuskentän pyörteisyys liittyy pyörimisakseliin ja kulmanopeuteen. Tilanne on toki hieman erilainen esimerkiksi nesteen virtauskentässä.)

\[\overline{\omega}=\frac{1}{2}\nabla\times \mathbf{v}.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Harjoitustehtävä.

Esimerkki 9.4.7

Osoita, että

\[\mathbf{u}\times (\nabla\times \mathbf{u}) =\frac12 \nabla \| \mathbf{u}\|^2 - (\mathbf{u}\cdot \nabla) \mathbf{u}.\]
Piilota/näytä ratkaisu

Harjoitustehtävä.

Palautusta lähetetään...