\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Nabla-kaavoja
Useissa sovelluksissa erilaisia nabla-operaatioita täytyy soveltaa funktioiden tuloon
tai kaksi kertaa peräkkäin.
Näin saadaan kokoelma nabla-kaavoja, joista osa on varsin yksinkertaisia, mutta toiset
yllättävän monimutkaisia. Kaikki kaavat voidaan todistaa alkeellisesti komponenttiesityksiä
käyttämällä, mutta se on hyvin työlästä. Alla olevan taulukon jälkeen selitetään,
miten kaavoja voidaan käsitellä systemaattisesti ns. indeksimerkinnän avulla.
Indeksimerkinnällä on käyttöä muissakin
sovelluksissa (kuten lujuusopissa ja virtausmekaniikassa).
Alla on lueteltu tärkeimmät tapaukset, kun \(f\) ja \(g\) ovat kaksi kertaa
derivoituva skalaarikenttä ja \(\mathbf{F}\) ja \(\mathbf{G}\) kaksi kertaa derivoituva vektorikenttä.
Kaksi ensimmäistä kohtaa koskee pelkkiä vektoreiden laskutoimituksia.
Kaikki ristituloja sisältävät kaavat koskevat vain kolmiulotteista tapausta; muut
ovat voimassa kaikissa ulottuvuuksissa.
Vektorikolmitulon kaava:
\[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}
-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}\]
Skalaarikolmitulon kiertosääntö
\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\]
Tulon derivaatta -kaavat:
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla (fg) &=& g\nabla f+f\nabla g, \nonumber\\
\nabla\cdot (f\mathbf{F}) &=& (\nabla f)\cdot \mathbf{F}+f(\nabla\cdot \mathbf{F}),
\nonumber\\
\nabla\times (f\mathbf{F}) &= &(\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F}).
\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Hankalammat ensimmäisen kertaluvun kaavat:
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla (\mathbf{F}\cdot \mathbf{G}) &=& \mathbf{F}\times(\nabla\times \mathbf{G})
+ \mathbf{G}\times(\nabla\times \mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot \nabla)\mathbf{G}
+(\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F}\nonumber\\
\nabla \cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G}) &=& (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G}
-\mathbf{F}\cdot (\nabla\times \mathbf{G})\nonumber\\
\nabla\times ({\bf F}\times {\bf G})&=&(\nabla\cdot {\bf G}){\bf F}
-(\nabla\cdot {\bf F}){\bf G}-({\bf F}\cdot\nabla){\bf G}+({\bf G}\cdot\nabla){\bf F}\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Helpot toisen kertaluvun kaavat (mainittiin jo yllä):
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla\cdot (\nabla f) &=& \Delta f \nonumber\\
\nabla\times \nabla f &=& \overline{0}\nonumber\\
\nabla\cdot (\nabla\times {\bf F})&=&0\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Hankalampi toisen kertaluvun kaava:
\[\begin{array}{rcl}
\nabla\times (\nabla \times \mathbf{F}) &=& \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}\nonumber
\end{array}\]
Nablaoperaatioiden kohdalla käytetään osittaisderivaatoille usein merkintää
\[\partial _k=D_k =\frac{\partial}{\partial x_k}.\]
Yllä mainituissa kaavoissa esiintyy kaksi harvinaisempaa operaatiota
\((\mathbf{G}\cdot \nabla){\bf F}\)
ja \(\Delta {\bf F}\), jotka 3-ulotteisessa tapauksessa määritellään kaavoilla
\[(\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F} =(G_1\partial_1+G_2\partial_2+G_3\partial_3)\mathbf{F}
=(G_1\partial_1F_1+G_2\partial_2F_1+G_3\partial_3F_1)\mathbf{i} + \dots\]
ja
(1)\[\Delta \mathbf{F} =(\Delta F_1) \mathbf{i} +(\Delta F_2) \mathbf{j}+(\Delta F_3) \mathbf{k},\]
jossa oikealla \(\Delta\) on tavallinen skalaarikenttään kohdistuva Laplace-operaattori
\[\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2}{\partial z^2}= \partial_1\partial_1 +\partial_2\partial_2 +\partial_3\partial_3.\]
Esimerkki 9.1.1
Olkoot \(\mathbf{G}= y\mathbf{i}-z\mathbf{j}+x\mathbf{k}\) ja
\(\mathbf{F}= x^2\mathbf{i}+2z\mathbf{j}+3y\mathbf{k}\). Sievennä lauseke \((\mathbf{G}\cdot \nabla){\bf F}\).
Piilota/näytä ratkaisu
Auki kirjoitettuna saadaan
\[\mathbf{G}\cdot \nabla =y\frac{\partial}{\partial x}-z\frac{\partial}{\partial y}
+x\frac{\partial}{\partial z}.\]
Merkinnän idea on nimenomaan siinä, että derivointi ei kohdistu vektorikentän
\(\mathbf{G}\) koordinaattifunktioihin, vaan ne ovat osittaisderivaattojen ”painokertoimia”.
Tätä operaattoria sovelletaan erikseen jokaiseen vektorikentän \({\bf F}\) koordinaattifunktioon,
mutta kantavektorit eivät muutu. Koska
kaikissa vektorikentän \({\bf F}\) koordinaattifunktioissa esiintyy vain yksi muuttujista \(x\), \(y\)
tai \(z\), niin kuhunkin
komponenttiin jää kolmesta mahdollisesta vain yksi nollasta poikkeava termi:
\[(\mathbf{G}\cdot \nabla){\bf F} = y\frac{\partial}{\partial x}x^2\,\mathbf{i}
+x\frac{\partial}{\partial z}(2z)\,\mathbf{j}
-z\frac{\partial}{\partial y}(3y)\,\mathbf{k}
= 2xy\,\mathbf{i}
+2x\,\mathbf{j}
-3z\,\mathbf{k}.\]
Esimerkki 9.1.2
Edellisen esimerkin tyyppinen nabla-operaatio esiintyy mm. kokoonpuristumattoman nesteen
virtausta kuvaavassa Navier–Stokes-yhtälössä, jonka mukaan nesteen virtauskenttä
\(\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{r},t)\) = ”hetkellä \(t\) pisteessä \(\mathbf{r}\) olevan
hiukkasen nopeusvektori” toteuttaa (esimerkissä 8.3.8 mainitun)
kokoonpuristumattomuusehdon \(\nabla\cdot \mathbf{v}=0\)
lisäksi osittaisdifferentiaaliyhtälön
\[\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}-\nu\Delta \mathbf{v}
= -\nabla w +\mathbf{g}.\]
Tässä kerroin \(\nu\) = ’nyy’ on kinemaattinen viskositeetti, \(\mathbf{g}\) on ulkoinen painovoiman
kiihtyvyys ja \(\nabla w\) on nesteen sisäiseen paineeseen liittyvä termi. Käytännössä kyseessä on liikemäärän
säilymislain matemaattinen muotoilu nopeuskentän avulla:
Lisätietoja
sivun puolivälin yläpuolella kohdassa ”Incompressible Navier–Stokes equations (convective form)”.
Huomautus 9.1.3
Jos \(\mathbf{e}\) on yksikkövektori, niin skalaarikentän \(f\) kohdalla merkintä
\((\mathbf{e}\cdot \nabla) f\) on vanha tuttu suunnattu derivaatta:
\[D_{\mathbf{e}} f = \mathbf{e}\cdot (\nabla f) = (\mathbf{e}\cdot \nabla) f.\]
Syy (\(n=3\)):
\[(\mathbf{e}\cdot \nabla )f=(e_1\partial_1 +e_2\partial_2+e_3\partial_3) f =
e_1\partial_1f +e_2\partial_2f+e_3\partial_3 f = \mathbf{e}\cdot (\nabla f).\]
Toinen samanlainen tilanne on usean muuttujan Taylor-approksimaatio
\[f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\sum_{k=1}^n\frac{(\mathbf{h}\cdot \nabla)^k}{k!}f(x,y),\]
jossa käytetään lyhennysmerkintää
\[(\mathbf{h}\cdot \nabla)^k f(x,y) = (h_1D_1+h_2D_2)^kf(x,y).\]
Tässä \(h_1=\Delta x\), \(h_2=\Delta y\) ja potenssi sievennetään binomikaavan avulla niin,
että osittaisderivaatat eivät vaikuta \(h\)-komponentteihin vaan ainoastaan funktioon \(f(x,y)\).