Divergenssi ja roottori¶
Tarkastellaan 3-ulotteista vektorikenttää \(\mathbf{F}\), joka on esitetty ortogonaalisessa koordinaatistossa \((u,v,w)\) kuten yllä. Kantavektoreiden avulla kirjoitettuna
jossa jälkimmäisessä kaavassa on (kuten tavallista …) sivuutettu se, että koordinaattifunktiot \(F_1,F_2,F_3\) eivät ole samoja (Kuten jo aikaisemmin on tullut esille, on toisinaan yksinkertaisuuden vuoksi parasta tyytyä hieman epätäsmällisiin merkintöihin. Tavallaan luonnollinen merkintä ensimmäiselle koordinaattifunktiolle voisi olla \(F_u\), mutta miten sen erottaa osittaisderivaatasta?) kuin tavallisessa kannassa \((\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})\).
Lause 10.3.1
Vektorikentälle (1) on voimassa
Kaavan molemmat puolet jakaantuvat kolmeen toisistaan riippumattomaan osaan, joten riittää todistaa kaava (1) vektorikentälle \(\mathbf{F} = F_1\mathbf{e}_u\). Edellisen kappaleen esimerkin 10.2.2 mukaan
ja samalla tavalla päätellään
Koska \(\mathbf{e}_u=\mathbf{e}_v\times \mathbf{e}_w\), niin laskettavaksi tulee
Nabla-kaavojen (\(\nabla \cdot (f\mathbf{F})= \nabla f\cdot \mathbf{F}+\ f\nabla\cdot \mathbf{F}\), \(\nabla\cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G})= (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot (\nabla\times \mathbf{G})\) ja \(\nabla\times \nabla f=\overline{0}\).) avulla tämä saadaan muotoon
Gradientti-kaavaa 10.2.1 käyttämällä nähdään, että
jonka avulla lopputulokseksi saadaan vaadittu kaava
Vaihtoehtoinen perustelu: Esitetään divergenssikaavalle myös vaihtoehtoinen geometrinen perustelu, jossa käytetään Gaussin lausetta pieneen koordinaattipintojen rajaamaan ”suorakulmaiseen laatikkoon”\(L\). Tarkastellaan vain muotoa \(F_1\mathbf{e}_u\) olevaa vektorikenttää, sillä muut komponentit voidaan käsitellä samalla periaatteella.
Laatikkoa vastaavan suorakulmaisen särmiön sivujen pituudet parametriavaruudessa ovat \(\Delta u\), \(\Delta v\) ja \(\Delta w\), joten laatikon tilavuus on \(\Delta V \approx h_uh_vh_w\Delta u \Delta v \Delta w\), ja yksikkövektoreita \(\pm \mathbf{e}_u\) vastaan kohtisuorien ”tahkojen”pinta-alat ovat \(\Delta S= \Delta S_{u} \approx h_vh_w \Delta v \Delta w\). Gaussin lauseen
vasemman puolen approksimaatio on
kun divergenssin arvo lasketaan esimerkiksi laatikon keskipisteessä. Oikean puoleen vuointegraaliin jäävät approksimaatiossa vain \(\mathbf{e}_u\)-vektoria vastaavat kaksi osaa, koska muilla osilla \(\mathbf{n}=\pm\mathbf{e}_v\) tai \(\mathbf{n}=\pm \mathbf{e}_w\), jolloin \(F_1\mathbf{e}_u\cdot \mathbf{n}\approx 0\); huomaa, että yksikkövektorit lasketaan eri pisteissä, joten ne eivät ole enää täsmälleen kohtisuorassa toisiaan vastaan. Näillä kahdella ”tahkolla”on \(F_1\mathbf{e}_u\cdot \mathbf{n}=\pm F_1\mathbf{e}_u\cdot \mathbf{e}_u=\pm F_1\), joten vuointegraalin approksimaatio on
ensimmäisellä rivillä sijoitukset lasketaan esimerkiksi ylä- ja alatahkojen keskipisteissä. Sijoittamalla nämä approksimaatiot Gaussin lauseeseen saadaan
josta kaavan ensimmäinen \(F_1\)-osa seuraa supistamalla pois \(\Delta u\Delta v\Delta w\) ja muistamalla, että rajalla \(\Delta u\Delta v\Delta w\to 0\) kaikista approksimaatioista tulee yhtäsuuruuksia.
Esimerkki 10.3.2
Osoita, että radiaalinen vektorikenttä (1) on lähteetön.
Tässä \(u=r\), \(v=\varphi\) ja \(w=\theta\). Lisäksi \(\tilde{F}_1(r,\varphi,\theta)=1/r^2\) ja muut koordinaattifunktiot ovat nollia. Kaavojen (1) perusteella
Tämän lausekkeen osoittaisderivaatta muuttujan \(r\) suhteen on nolla, joten väite seuraa lauseesta lauseesta 10.3.1.
Esimerkki 10.3.3
Johda Laplace-operaattorin pallokoordinaattiesitys (Koko kvanttimekaniikka perustuu tähän kaavaan: Kun vetyatomin aaltofunktion \(\Psi =\Psi (\mathbf{r},t)\) Schrödingerin yhtälö
kirjoitetaan pallokoordinaattien avulla ja ratkaistaan muuttujien erottelua käyttämällä, niin osoittautuu, että systeemin energiatasot riippuvat muotoa \(l(l+1)\) olevasta lausekkeesta, jossa \(l=1,2,3,\dots\); ts. energiatasot ovat kvantittuneet. Katso esim. Vetyatomi (suunnilleen sivun puolivälissä). Vetyatomia yksinkertaisempi kvanttimekaaninen malli on hiukkanen potentiaalikuopassa, mutta en ole varma, esiintyykö sellaisia luonnossa.) (spherical Laplacian)
käyttämällä edellä johdettuja kaavoja gradientille ja divergenssille. Huomaa, että tarvittavat venytyssuhteet on laskettu jo aikaisemmin.
Harjoitustehtävä.
Lopuksi johdetaan vielä yleinen pyörteisyyden kaava.
Lause 10.3.4
Vektorikentälle (1) on voimassa
Tarkastellaan aluksi lauseketta \(\nabla \times (F_1\mathbf{e}_u)\), jossa edellisen kohdan tapaan \(\mathbf{e}_u=h_u\nabla u\). Nabla-kaavojen avulla saadaan
Gradientti-kaavan mukaan
Tuloksena saatu vektorien erotus on täsmälleen sama kuin väitteessä esiintyvän determinantin \(F_1\)-termeissä, kun \(h\)-kertoimet otetaan huomioon. Samalla tavalla käsitellään vektorikentän \(F_2\)- ja \(F_3\)-termit.
Esimerkki 10.3.5
Laske pallokoordinaatiston yksikkövektoreiden lähteisyydet ja pyörteisyydet.
Luennolla/harjoitukset.
Vihje: Yksikkövektorit ovat kaikkein yksinkertaisimpia vektorikenttiä, joissa yksi koordinaattifunktio on vakio 1 ja kaksi muuta pelkkää nollaa.
Esimerkki 10.3.6
Perustele esimerkissä 7.2.7 mainitut radiaaliset nabla-kaavat.
Luennolla/harjoitukset.
Esimerkki 10.3.2 on radiaalisen divergenssikaavan erikoistapaus.