\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Käyrän parametrisointi

Käyriä esiintyy monissa matematiikan sovelluksissa: Tasossa tai avaruudessa liikkuvan kappaleen paikka ajan funktiona muodostaa kappaleen ratakäyrän; robotin käden liikettä voidaan ohjata tiettyä käyrää pitkin; termodynaamista kiertoprosessia voidaan kuvata umpinaisella käyrällä \(TS\)-koordinaatistossa, tai ideaalikaasun tapauksessa \(Vp\)-koordinaatistossa. Termodynamiikan I pääsäännön \(dE=T\, dS-p\, dV\) avulla voidaan laskea esimerkiksi näiden prosessien hyötysuhteita viivaintegraalien avulla (Katso esimerkiksi Dieselin sykli tai Carnot’n sykli).

Käyrällä (curve) tarkoitetaan joukkoa \(C\subset \R^n\), joka voidaan esittää muodossa

\[C=\{ \br (t)\mid t\in I\},\]

missä \(I\subset \R\) on väli ja funktio \(\br \colon I\to \R^n\) on jatkuva. Tässä \(\br\) on käyrän \(C\) parametrisointi (tai parametriesitys) (parameterization) ja \(I\) on vastaava parametriväli. Käytännössä voidaan ajatella, että \(n=2\) tai \(n=3\), mutta ei ole välttämätöntä rajoittua näihin tapauksiin. Parametrisoinnin jatkuvuudella tarkoitetaan sen koordinaattifunktioiden jatkuvuutta, kuten seuraavasta esimerkistä käy ilmi.

Esimerkki 2.1.1

Jos \(n=3\), niin kyseessä on (space curve) avaruuskäyrä, jolle

\[\br (t)=(x(t),y(t),z(t))\in \R^3.\]

Tässä \(x,y,z\) ovat parametrisoinnin koordinaattifunktioita, ja jatkuvuus tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että nämä ovat jatkuvia funktioita jollakin parametrivälillä \(I\). Parametrisointi \(\br=\br(t)\) kirjoitetaan usein koordinaattimuodossa

\[\begin{split}\begin{cases} x=x(t) &\\ y=y(t) & t\in I\\ z=z(t) & \\ \end{cases}\end{split}\]

ja joskus myös vektorimuodossa \(\br(t)=x(t)\bi+y(t)\bj+z(t)\bk\) tai matriisilaskennan yhteydessä pystyvektorina \(\br(t)=[x(t),y(t),z(t)]^T\). Tässä monisteessa itse parametrisoinnit kirjoitetaan pääsääntöisesti koordinaattimuodossa, kun taas niihin liittyvien tangenttivektorien kohdalla on luontevaa käyttää vektorimuotoa. Tapauksessa \(n=2\) kyseessä on (plane curve) tasokäyrä, jolloin yllä \(z\)-koordinaatti jää pois.

Huomautus 2.1.2

Merkintä \(x=x(t)\) on yleinen, mutta matemaattisesti epätäsmällinen, sillä vasemmalla puolella \(x\) tarkoittaa koordinaattia ja oikealla puolella funktiota. Tämä aiheuttaa joskus sekaannuksia, joista selvitään kirjoittamalla parametrisointi muodossa \(x=X(t)\) tai \(x=f(t)\) jne.

Usein parametriväli on suljettu väli \([a,b]\). Jos tällöin \(\br(a)=\br(b)\), niin kyseessä on umpinainen käyrä. (closed curve) Umpinaisen käyrän parametrisointi voidaan esittää myös niin, että parametrit sijaitsevat yksikköympyrällä, jolloin yksikköympyrän piste \((\cos t,\sin t)\) vastaa parametrivälin \([0,2\pi]\) pistettä \(t\). Tätä tulkintaa ei kuitenkaan tarvita tällä kurssilla.

Parametrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnan, jolloin \(\br(a)\) on käyrän alkupiste ja \(\br(b)\) sen päätepiste. Umpinaisen käyrän tapauksessa pelkkä alku- ja päätepisteen valinta ei kuitenkaan määrää käyrän positiivista suuntaa, koska kyseessä on vain yksi käyrän piste. Annetusta parametrisoinnista voidaan muodostaa myös vastakkainen parametrisointi, jossa vastaava käyrä pysyy samana, mutta sen kulkusuunta vaihtuu. Tällöin myös parametrisointiin liittyvät alku- ja päätepiste vaihtavat paikkaa. Tapauksessa \(\br \colon [0,T]\to C\) vastakkainen parametrisointi \(\br_-\) saadaan helposti kaavalla \(\br_-(t)=\br(T-t)\), \(t\in [0,T]\).

Esimerkki 2.1.3

a) Yksikköympyrän \(x^2+y^2=1\) parametrisointi perustuu käytännössä sini- ja kosinifunktioiden geometriseen määritelmään: \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), kun \(0\le t\le 2\pi\). Koordinaatteja venyttämällä tästä saadaan ellipsin \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\) (ellipse) parametrisointi muodossa

\[\begin{split}\begin{cases} x=a\cos t &\\ y=b\sin t,&\\ \end{cases}\end{split}\]

kun \(t\in [0,2\pi]\). Tapauksessa \(a=b=R\) saadaan \(R\)-säteisen origokeskisen ympyrän parametrisointi. Jos ellipsin keskipiste \((x_0,y_0)\) on muualla kuin origossa, niin kaavoihin täytyy lisätä vastaavat siirrot: \(x=x_0+a\cos t\), \(y=y_0+b\sin t\).

../_images/2-1-3ellipsi.svg

Ellipsi, jonka puoliakseleiden pituudet ovat \(a=5\) ja \(b=2\).

b) Jos \(f\colon I\to\R\) on jatkuva yhden muuttujan funktio, niin sen kuvaaja

\[\{ (x,y) \in \R^2\mid x\in I, y=f(x) \}\]

on tasokäyrä, jolla on parametrisointi \(\br(t)=(t,f(t))\), \(t\in I\). Tässä tilanteessa voi tuntua luonnolliselta käyttää käyrän parametrina pelkkää symbolia \(x\), mutta se voi johtaa sekaannuksiin esimerkiksi viivaintegraalien yhteydessä (seuraavassa luvussa).

c) Pisteiden \(\br_0=(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\br_1=(x_1,y_1,z_1)\) välisen yhdysjanan parametrisointi voidaan kirjoittaa vektorimuodossa

\[\br(t)=\br_0+t(\br_1-\br_0),\]

kun \(t\in [0,1]\). Tästä saadaan myös koordinaattimuoto

\[\begin{split}\begin{cases} x=x_0+t(x_1-x_0)=(1-t)x_0+tx_1&\\ y=y_0+t(y_1-y_0)=(1-t)y_0+ty_1&\\ z=z_0+t(z_1-z_0)=(1-t)z_0+tz_1.&\\ \end{cases}\end{split}\]

Tason pisteiden yhdysjanan parametrisoinnissa viimeinen koordinaatti jää tietysti pois.

../_images/jana.svg

d) Sykloidi (cycloid) (Katso myös Sykloidi ja Hyposykloidi) on tasokäyrä, joka kuvaa esim. vierivään renkaaseen tarttuneen kiven rataa. Jos renkaan säde on \(R\), renkaan etenemisnopeus \(v\) ja parametriksi valitaan aika, niin akselin liikettä kuvaa parametrisointi \(x=vt,\ y=R\). Kiven pyöriminen akselin suhteen tapahtuu vierimisehdon perusteella kulmanopeudella \(\omega=v/R\) ja pyörimissuunta on negatiivinen. Jos vielä ajan nollakohta valitaan sellaiseen hetkeen, kun kivi koskettaa maata, niin pyörimisliikettä kuvaa parametrisointi

\[\begin{split}\begin{cases} x=R\cos(-vt/R-\pi/2)=-R\sin(vt/R) &\\ y=R\sin(-vt/R-\pi/2)=-R\cos(vt/R). &\\ \end{cases}\end{split}\]

Kiven rata saadaan yhdistämällä akselin liike ja pyöriminen toisiinsa, joten sykloidin parametrisointi on muotoa

(1)\[\begin{split}\begin{cases} x=vt-R\sin(vt/R) &\\ y=R(1-\cos(vt/R)). &\\ \end{cases}\end{split}\]
../_images/2-1-3sykloidi.svg

Matemaattisesti parempi vaihtoehto on valita parametriksi renkaan kiertokulma \(\alpha= vt/R\), jolloin lausekkeet yksinkertaistuvat hiukan.

Viimeisenä esimerkkinä tarkastellaan matriisilaskennan käyttämistä apuna avaruuskäyrän parametrisoinnissa.

Esimerkki 2.1.4

Muodosta sen avaruuskäyrän parametrisointi, joka yhdistää pisteet \((1,0,0)\) ja \((-1,0,0)\) tasoon \(y=z\) sisältyvää puoliympyrää pitkin.

Taso-_ja_Avaruuskayrat/Kuvat/2-1-3puoliymp-yz.*
Piilota/näytä ratkaisu

Tasossa \(z=0\) puoliympyrän parametrisointi olisi helppo: \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), \(z=0\), kun \(0\le t\le \pi\). Muokataan tästä vaadittu parametrisointi käyttämällä kolmiulotteista kiertomatriisia \(x\)-akselin suhteen; sen yleinen muoto on (\(R\) = rotation)

\[\begin{split}R_x(\varphi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos \alpha\\ \end{bmatrix},\end{split}\]

ja tässä tapauksessa kiertokulma on tason \(y=z\) kaltevuuskulma eli \(\alpha = 45^{\circ}\). Pystyvektorimuodossa parametrisoinniksi saadaan

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos t \\ (1/\sqrt{2})\sin t \\ (1/\sqrt{2})\sin t\\ \end{bmatrix},\ 0\le t\le \pi.\end{split}\]

Esimerkki 2.1.5

Osoita, että myös kaavat

\[\begin{split}\begin{cases} x=\frac{1-t^2}{1+t^2} & \\ y=\frac{2t}{1+t^2} \end{cases}\end{split}\]

muodostavat yksikköympyrän parametriesityksen. Mikä on vastaava parametriväli ja saadaanko sen avulla kaikki yksikköympyrän pisteet?

Piilota/näytä ratkaisu

jätetään harjoitustehtäväksi. Vaikka tämä näyttää hankalammalta kuin trigonometrinen parametriesitys, sen avulla on helppo löytää yksikköympyrältä pisteitä, joiden molemmat koordinaatit ovat rationaalilukuja. Tällaiset ominaisuudet ovat erittäin tärkeitä lukuteoriassa.

Palautusta lähetetään...