\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Yksikkötangentit ja -normaalit

Säännöllisen parametrisoinnin yhtenä etuna on se, että käyrälle voidaan määrittää jokaiseen pisteeseen yksikkötangenttivektori (unit tangent)

\[{\bf u}(t) =\frac{1}{\| \br'(t)\|}\br'(t),\]

jolle siis \(\|{\bf u}(t)\|=1\) kaikilla \(t\). Tätä voidaan käyttää apuna esimerkiksi kiihtyvyyden tangentti- ja normaalikomponenttien määrittämiseen seuraavalla tavalla.

Tarkoituksena on siis kirjoittaa kiihtyvyys muodossa

\[{\bf a}={\bf a}_T + {\bf a}_N,\]

missä \({\bf a}_T\parallel {\bf u}\) ja \({\bf a}_N\perp {\bf u}\). Käytännössä \({\bf a}_T\) (tangential acceleration) on kiihtyvyyden vektoriprojektio \({\bf a}_{\bf u}\) vektorin \({\bf u}\) määräämään suuntaan (lisätietoja liitteessä Skalaari- ja vektoriprojektio), joten

\[{\bf a}_T={\bf a}_{\bf u}=({\bf a}\cdot {\bf u}){\bf u}= \frac{{\bf a}(t)\cdot \br'(t)}{\| \br'(t)\|^2}\br'(t)\]

lasketaan ensin, ja sen avulla saadaan (normal acceleration)

\[{\bf a}_N={\bf a} - {\bf a}_T.\]

Esimerkki 2.4.1

Hiukkanen liikkuu pitkin Helix-käyrää (”kierrejousi”), jolla on parametrisointi

\[\br(t)=(\cos t,\sin t,t),\ t\in \R.\]

Käyrän voi piirtää esimerkiksi Maple-käskyllä

> plot3d([cos(t),sin(t),t], t=0..4*Pi, scaling=constrained,
color=red, thickness=3, axes=none)

jota voi tutkia tarkemmin kiertämällä. Määritetään hiukkasen kiihtyvyyden tangentti- ja normaalikomponentit.

Nyt \(\br'(t)={\bf v}(t)=-\sin t\, \bi +\cos t\, \bj+\bk\) ja \({\bf a}(t)=\br''(t)=-\cos t\, \bi -\sin t\, \bj\), joten

\[{\bf a}_T=\frac{{\bf a}\cdot {\bf v}}{\| {\bf v}\|^2}{\bf v} =\frac{\sin t\cos t-\sin t\cos t}{\sin^2 t+\cos^2t+1}{\bf v}=\overline{0}.\]

Kiihtyvyys on siis pelkkää normaalikiihtyvyyttä, eli \({\bf a}_N={\bf a}\).

Tutkitaan vielä lopuksi tarkemmin yksikkötangenttivektoria \({\bf u}(t)\). Koska \(\|{\bf u}(t)\|=1\), niin \({\bf u}(t)\cdot {\bf u}(t)=1\) kaikilla \(t\). Derivoimalla tämä yhtälö puolittain parametrin \(t\) suhteen saadaan

\[\frac{d}{dt}({\bf u}(t)\cdot {\bf u}(t))=\frac{d}{dt} 1=0.\]

Tässä

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \frac{d}{dt}({\bf u}(t)\cdot {\bf u}(t))&=&\frac{d}{dt}(u_1(t)^2+u_2(t)^2+u_3(t)^2) \nonumber \\ &=&2u_1(t)u_1'(t)+2u_2(t)u_2'(t)+2u_3(t)u_3'(t) = 2{\bf u}(t)\cdot {\bf u}'(t), \nonumber \end{array}\end{split}\]

joten \({\bf u}'(t)\perp {\bf u}(t)\) kaikilla \(t\). Jos \({\bf u}'(t)\neq \overline{0}\), niin voidaan määritellä

\[{\bf n}(t) =\frac{1}{\| {\bf u}'(t)\|}{\bf u}'(t),\]

joka on nimeltään käyrän päänormaali. (principal normal)

../_images/tannor2.svg

Lyhyellä laskulla voidaan osoittaa, että

\[\begin{split}\begin{cases} {\bf a}_T = \| \br'(t)\|'{\bf u}(t) & \\ {\bf a}_N= \| \br'(t)\| \|{\bf u}'(t)\|{\bf n}(t), &\\ \end{cases}\end{split}\]

joten normaalikiihtyvyys on aina päänormaalin suuntainen. Kolmiulotteisessa tapauksessa yksikkövektorit \({\bf u}(t)\) ja \({\bf n}(t)\) määräävät sellaisen tason, jota käyrä hetkellisesti sivuaa parhaiten. Käyrän kierevyys (torsion) eli erkaneminen ulos tästä tasosta tapahtuu suuntaan \({\bf u}(t)\times {\bf n}(t)\), joka on kohtisuorassa vektoreita \({\bf u}(t)\) ja \({\bf n}(t)\) vastaan. Se on myös yksikkövektori ja nimeltään käyrän (binormal) sivunormaali. Näiden kolmen yksikkövektorin avulla voidaan käyrän pisteeseen yleensä (Esimerkiksi suoran janan tapauksessa vain yksikkötangenttivektori on 1-käsitteisellä tavalla määritelty.) liittää sen kulun kanssa yhteensopiva suorakulmainen koordinaatisto. Tällöin esimerkiksi vektoreiden \({\bf u}(t),\ {\bf n}(t)\) ja \({\bf u}(t)\times {\bf n}(t)\) derivaatat voidaan esittää lineaarikombinaatioina näistä kolmesta alkuperäisestä vektorista. Tulokset tunnetaan Frenet–Serret-kaavojen nimellä, mutta emme käsittele niitä tällä kurssilla sen tarkemmin. Oheislukemista.

Huomautus 2.4.2

: Tasokäyrän käännepisteessä (jossa kaarteen suunta vaihtuu) tai sen ”suoralla osalla”on \(\mathbf{u}'(t)=\overline{0}\). Tällöin normaalin muodostaminen ei onnistu yllä esitetyllä tavalla, mutta se voidaan tehdä säännöllisen parametrisoinnin tapauksessa kiertämällä yksikkötangenttia jokaisessa käyrän pisteessä 90\(^{\circ}\) (esimerkiksi) myötäpäivään. Näin saadaan kaikkiin pisteisiin yksikkönormaali, joka osoittaa kulkusuuntaan nähden käyrän oikealle puolelle. Normaalin suunnaksi saadaan säännöllisen parametriesityksen tangenttivektorista \(\mathbf{r}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}\) vektori

\[\mathbf{N}(t)=y'(t)\mathbf{i}-x'(t)\mathbf{j},\]

joka täytyy vielä skaalata yksikkövektoriksi.

../_images/tannor3.svg

Esimerkki 2.4.3

Kolmiulotteisen käyrän parametriesitykselle välillä \(0\le t\le 1\) on voimassa \(\mathbf{r}(t)\perp \mathbf{r}'(t)\) kaikilla \(0<t<1\). Osoita, että käyrä sijaitsee erään pallon pinnalla. Mikä on pallon keskipiste ja säde?

Ratkaisu harjoitustehtävänä.

Palautusta lähetetään...