Epäoleellinen integraali¶
Epäoleellinen tasointegraali jakaantuu yhden muuttujan tapauksen mukaisesti kahteen eri tyyppiin: Joko integroimisjoukko ei ole rajoitettu tai funktio käyttäytyy huonosti rajoitetun integroimisjoukon reunalla tai jopa sisällä. Tilanne on kuitenkin hankalampi kuin yhdessä ulottuvuudessa, koska tasojoukot ja kahden muuttujan funktiot voivat olla paljon monimutkaisempia kuin reaaliakselin välillä määritellyt funktiot.
Ensimmäisessä vaiheessa integroimisjoukko jaetaan pienempiin osiin, joissa esiintyy vain yksi ongelmatapaus kerrallaan. Käytännössä tämä tehdään katkaisemalla joko funktio tai integroimisjoukko niin, että ongelma häviää, ja tutkimalla tilannetta raja-arvojen kautta. Seuraavassa tarkastellaan vain muutamia esimerkkejä.
Ensimmäisen esimerkin tarkoituksena on näyttää, millaisia ongelmia voi esiintyä.
Esimerkki 1.4.1
Laske epäoleellinen integraali
yksikköneliön \(N=[0,1]\times [0,1]\) yli.
Integroitavan funktion nimittäjä on nolla origossa, joka sisjaitsee neliön kulmassa. Unohdetaan hetkeksi tämä ongelma ja yritetään laskea integraali tavalliseen tapaan.
Tapa 1. Käytetään integroitavan funktion \(f(x,y)\) antisymmetrisyyttä peilauksessa suoran \(y=x\) suhteen: \(f(y,x)=-f(x,y)\). Koska neliö pysyy peilauksessa paikallaan, niin sen vasemman yläkolmion positiivinen osuus ja oikean alakolmion negatiivinen osuus kumoavat toisensa. Integraalin arvo on siis 0.
Tapa 2. Integroidaan ensin pystysuunnassa muuttujan \(y\) suhteen ja sen jälkeen vaakasuoraan muuttujan \(x\) suhteen. Koska
niin integraalien laskeminen on helppoa ja tulokseksi saadaan \(-\pi/4\). Tämän voi myös tarkistaa esimerkiksi Maple-ohjelmalla laskemalla nämä kaksi integraalia peräkkäin.
Tapa 3. Integroidaan ensin vaakasuunnassa muuttujan \(x\) suhteen ja sen jälkeen pystysuoraan muuttujan \(y\) suhteen. Käytetään edellisen kohdan kaavaa vastakkaisessa järjestyksessä
jolloin integrointi onnistuu tässä järjestyksessä ja tulokseksi saadaan \(\pi/4\).
Kaikilla kolmella tavalla saadaan eri tulos, mutta onko joku niistä oikea vastaus? Suppenevan epäoleellisen integraalin määritelmässä vaaditaan, että ”kaikilla eri tavoilla”saadaan sama tulos, joten kyseessä oleva integraali hajaantuu (On kuitenkin olemassa symmetriseen katkaisutapaan perustuva Cauchyn pääarvointegraalin käsite, jonka mukaan integraalin arvo on 0. Tällöin origon ympäriltä poistetaan pieni neliö \([0,t]\times [0,t]\) ja tutkitaan integraalien raja-arvoa, kun \(t\to 0+\). Tämä on helppoa, koska antisymmetria toimii ongelmitta jatkuville funktioille ja kaikkien katkaistujen integraalien arvo on nolla).
Yllä olevaa kumoutumisongelmaa ei voi tulla vastaan, jos integroiva funktio saa vain positiivisia (tai pelkästään negatiivisia) arvoja. Yleisessä tapauksessa integroitava funktio jaetaan positiiviseen ja negatiiviseen osaan muodossa
jossa
Tällöin \(f_+\ge 0\) ja \(f_-\ge 0\), ja funktion \(f\) epäoleellisen integraalin suppenemiseen vaaditaan, että molempien funktioiden \(f_+\) ja \(f_-\) integraalit suppenevat.
Joissakin tapauksissa epäoleellisia tasointegraaleja voidaan käyttää yksiulotteisten integraalien laskemiseen. Esimerkkinä lasketaan
jota tarvitaan mm. normaalijauman yhteydessä. Voidaan osoitaa, että integroitavalla funktiolla \(e^{-x^2}\) ei ole sellaista integraalifunktiota, jonka voisi esittää alkeisfunktioiden avulla.
Esimerkki 1.4.2
Laske integraali
käyttämällä joko neliön- tai ympyränmuotoista katkaisua. Vertaa tuloksia.
Merkitään
jolloin \(B(R)\subset N(R) \subset B(\sqrt{2}\, R)\). Koska integroitava funktio on positiivinen, niin
Kun integroinnissa koko taso katkaistaan neliöksi \(N(R)\) tai ympyräksi \(B(R)\), niin näistä epäyhtälöistä seuraa, että rajalla \(R\to\infty\) saadaan samat tulokset.
Integraaliksi neliön yli saadaan
koska integroimismuuttujan nimellä ei ole merkitystä. Tätä lauseketta ei voi enää sieventää.
Integraali ympyrän yli kannattaa laskea napakoordinaattien avulla, jolloin \(dA=r\, dr\, d\theta\) ja saadaan
Vertaamalla näitä tuloksia saadaan rajalla \(R\to\infty\) yhtälö
joten
Esimerkki 1.4.3
Tutki epäoleellisen tasointegraalin
suppenemista.
Harjoitustehtävä.