\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Painopiste ja keskiö

Painopistekaavan perustelu on luontevinta tehdä tasointegraalille, vaikka painopisteen ja keskiön käsitteet on määritelty myös avaruusintegraalille sekä viiva- ja pintaintegraaleille. Syy on se, että 2-ulotteinen ”levy” voidaan usein tukea painopisteen kohdalta niin, että se pysyy tasapainossa, mutta 3-ulotteisen kappaleen painopiste on yleensä kappaleen sisällä ja käyrien ja pintojen tapauksessa niiden ulkopuolella.

Tarkastellaan siis rajoitettua tasoaluetta \(D\), joka on sijoitettu 3-ulotteiseen avaruuteen jollekin tasolle \(z=z_0=\) vakio. Kiinnitetään joukon \(D\) piste \(\mathbf{r}_0=x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j}+z_0\mathbf{k}\) ja lasketaan joukon \(D\) aiheuttama kokonaismomentti tämän pisteen suhteen, kun pintatiheys \(\sigma\colon D\to [0,\infty[\) voi vaihdella (tai on vakio). Pienen suorakulmaisen ruudun massa on muotoa \(\Delta m\approx \sigma(\mathbf{r}) \Delta A\), kun pintatiheys lasketaan (esimerkiksi) ruudun keskipisteessä \(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z_0\mathbf{k}\). Tähän ruutuun kohdistuva painovoima on muotoa \(\Delta \mathbf{F}\approx -g \Delta m\mathbf{k}\).

../_images/1-5ppkuva.svg

Lukiofysiikan kaavan

\[\text{momentti} = \text{voima} \cdot \text{varsi}\]

vektorimuoto on

\[\mathbf{M} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}.\]

Koska \(\bi \times\bk =-\bj\) ja \(\bj \times \bk = \bi\), niin pienen ruudun aiheuttama momentti tukipisteen suhteen saadaan muotoon

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \Delta \mathbf{M} &=& (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\times \Delta \mathbf{F} = -g\Delta m (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\times \mathbf{k}\nonumber\\ &=& -\sigma (\mathbf{r})g\Delta A \big( (x-x_0)\mathbf{i}+(y-y_0)\mathbf{j}\big)\times \mathbf{k} \nonumber\\ &=& -\sigma (\mathbf{r})g\Delta A \big(-(x-x_0)\mathbf{j}+(y-y_0)\mathbf{i}\big).\nonumber \end{array}\end{split}\]

Kokonaismomentti pisteen \(\mathbf{r}_0\) suhteen saadaan laskemalla yhteen kaikki ruudut ja tihentämällä jakoa, jolloin summa lähestyy tasointegraalia ja momentiksi saadaan

\[\Sigma \Delta \mathbf{M} \to \mathbf{M} = g\left(\iint_D (x-x_0)\sigma(x,y)\, dA\right)\mathbf{j}- g\left(\iint_D (y-y_0)\sigma(x,y)\, dA\right)\mathbf{i}.\]

Tasapainossa \(\mathbf{M}=\mathbf{0}\), joten

\[\iint_D (x-x_0)\sigma(x,y)\, dA= \iint_D (y-y_0)\sigma(x,y)\, dA = 0.\]

Tässä

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} 0 &=&\iint_D (x-x_0)\sigma(x,y)\, dA = \iint_D x\sigma(x,y)\, dA-\iint_D x_0\sigma(x,y)\, dA \nonumber\\ &=& \iint_D x\sigma(x,y)\, dA -x_0 \underbrace{\iint_D \sigma(x,y)\, dA}_{=m},\nonumber \end{array}\end{split}\]

joten

\[x_0 =\frac{1}{m}\iint_D x\sigma(x,y)\, dA\]

ja toisesta yhtälöstä saadaan samalla tavalla

\[y_0 =\frac{1}{m}\iint_D y\sigma(x,y)\, dA.\]

Nämä ovat siis painopisteen koordinaatit.

Jos \(\sigma\) on vakio, niin \(m=\sigma A\) ja pintatiheys supistuu kaavoista pois. Näin saadaan joukon \(D\) keskiön (= matemaattinen keskipiste) koordinaatit

\[\overline{x}=\frac{1}{A}\iint_D x\, dA, \ \overline{y}=\frac{1}{A}\iint_D y\, dA.\]

Ne ovat siis koordinaattifunktioiden \(x\) ja \(y\) keskiarvoja joukossa \(D\).

Palautusta lähetetään...