\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Skalaarikentän viivaintegraali
Skalaarikentällä (scalar field) tarkoitetaan usean muuttujan funktiota \(f\colon A\to \R\), kun
funktion määrittelyjoukko \(A\subset \R^n\). Täsmällisemmin voidaan sanoa, että kyseessä
on \(n\):n muuttujan funktio. Funktion \(f\) arvo pisteessä \((x_1,\dots,x_n)\) kirjoitetaan
muodossa \(f(x_1,\dots,x_n)\), kun \((x_1,\dots,x_n)\in A\). Fysikaalisista suureista
skalaarikenttiä ovat esimerkiksi kappaleen lämpötila \(u=u(x,y,z,t)\) ja sen tiheys
\(\rho=\rho(x,y,z)\).
Esimerkki 3.1.1
Skalaarikenttä \(f\colon \R^2\to \R\) määritellään kaavalla \(f(x,y)=xy-x+2y+3\). Tällöin
\(f(-1,2)=6\).
Ryhdymme tutkimaan, kuinka pitäisi määritellä skalaarikentän integraali pitkin parametrisoitua
käyrää. Johdattelevana esimerkkinä tutkitaan, kuinka lasketaan epähomogeenisen mutkittelevan
metallilangan massa.
Esimerkki 3.1.2
Langalla on parametrisointi \(\br=\br(t)\), kun \(t\in [a,b]\), ja sen pituustiheys
\(\rho = \rho(\br(t))\) tunnetaan kussakin pisteessä. Approksimoi langan kokonaismassaa.
Tarkastellaan lyhyttä langanpätkää, joka vastaa parametriväliä \([t,t+\Delta t]\). Vastaavaa
käyrän osaa voidaan approksimoida kaavan (1) mukaisesti erotusvektorilla
\[\Delta \br =\br(t+\Delta t)-\br(t)\approx \br'(t)\Delta t.\]
Tämän langan osan massa on siis
\[\Delta m \approx \rho (\br(t))\|\Delta \br\|\approx \rho (\br(t))\|\br'(t)\|\Delta t.\]
Jos koko parametriväli jaetaan tasavälisesti jakopisteillä \(a=t_0,t_1,\dots, t_n=b\),
niin koko langan massalle saadaan approksimaatio
\[m\approx \sum \Delta m \approx \sum_{k=0}^{n-1} \rho (\br(t_k))\|\br'(t_k)\|\Delta t.\]
Kun jako tihentyy, eli \(\Delta t \to 0\), niin summan raja-arvona saadaan integraali
\[\int_a^b \rho (\br(t))\|\br'(t)\|\, dt,\]
joka ilmeisesti parhaiten kuvaa koko langan massaa.
Langan massa -tulkinnan lisäksi samanlaiseen tulokseen päästään myös seuraavan
geometrisen tulkinnan kautta: Jos tasokäyrän \(C\) päälle rakennetaan aita, jonka korkeus
käyrän pisteessä \(\br\) on \(h(\br)\), niin koko aidan pinta-ala on muotoa
\[A= \int_a^b h(\br(t))\|\br'(t)\|\, dt.\]
Näiden esimerkkien perusteella asetetaan seuraava määritelmä, jossa tämän kurssin tarpeisiin
riittävät tapaukset \(n=2\) ja \(n=3\).
Seuraaviin seikkoihin on syytä kiinnittää erikseen huomiota:
Paloittainen säännöllisyys näkyy laskuissa niin, että integraali jakaantuu erikseen
laskettaviin osiin. Tarkasti ottaen täytyy vielä olettaa, että funktio \(t\mapsto f(\br(t))\)
on ainakin paloittain jatkuva, jotta sitä voidaan integroida.
Tämä palautuu itse skalaarikentän \(f\) jatkuvuuteen.
Viivaintegraalin arvo ei riipu (monotonisen) parametrisoinnin valinnasta eikä sen suunnasta.
Vaikka viivaintegraali määritellään parametrisoinnin avulla, niin viivaintegraalin
merkinnässä esiintyy vain joukko \(C\), koska suunnan tai parametrisoinnin valinta ei siis
vaikuta tulokseen (Aivan tarkasti ottaen tämä ei pidä paikkaansa: Jos esimerkiksi
yksikköympyrä parametrisoidaan kiertämällä se kaksi kertaa ympäri, niin vastaava
käyrä on joukkona sama yksikköympyrä, mutta viivaintegraalin arvo riippuu (yleensä) kierrosten lukumäärästä.
Tämän ongelman välttämiseksi käytetään viivaintegraalin merkinnässä joskus (ja erityisesti
kompleksianalyysissä) käyrän \(C\) tilalla parametrisoivan funktion nimeä, joka määrittää
tilanteen yksikäsitteisellä tavalla.)
Funktio \(f\) on usein määritelty muuallakin kuin pelkästään käyrän pisteissä \(\br(t)\),
mutta näillä arvoilla ei ole mitään merkitystä tulokseen.
Differentiaali \(ds=\|\br'(t)\|\, dt\) voidaan tulkita kaarenpituusalkioksi. Jos funktiolla \(f\)
on vakioarvo 1, niin
\[\int_C 1\, ds = \int_a^b \|\br'(t)\|\, dt =\ell\]
on käyrän \(C\) kaarenpituus (\(\ell\) = ’length’). Lauseketta
\[\overline{f}= \frac{1}{\ell} \int_C f\, ds\]
kutsutaan funktion \(f\) keskiarvoksi (mean) käyrällä \(C\).
Symbolinen merkintä \(ds\) voidaan ”perustella”myös seuraavalla tavalla: Käyrän kaarenpituus
pisteestä \(\br(a)\) muuttuvaan pisteeseen \(\br(t)\) on
\[s(t)=\int_a^t\|\br'(u)\|\, du,\]
joten analyysin peruslauseen mukaan
\[\frac{ds}{dt}= \|\br'(t)\|\]
ja edelleen symbolisesti \(ds= \|\br'(t)\|\, dt\); vrt. differentiaalien käsittely separoituvien
differentiaaliyhtälöiden kohdalla.
Jos \(C\) on umpinainen käyrä, niin viivaintegraalille käytetään myös merkintää
\[\oint_C f\, ds = \int_C f\, ds = \int_a^b f(\br(t))\|\br'(t)\|\, dt.\]
Tämä ei vaikuta mitenkään itse integraalin arvoon eikä sen laskemiseen.
Jos käyrän \(C_1\) loppupiste on sama kuin käyrän \(C_2\) alkupiste, niistä
voidaan muodostaa uusi käyrä \(C=C_1\cup C_2\) asettamalla käyrät peräkkäin. Tällöin
viivaintegraali jakaantuu luonnollisella tavalla kahteen osaan:
\[\int_C f\, ds = \int_{C_1} f\, ds +\int_{C_2} f\, ds.\]
Esimerkki 3.1.4
Laske skalaarikentän \(f(x,y,z)=2x+4y\) viivaintegraali pitkin parametrisoitua avaruuskäyrää
\(\br(t)=(t,t,t^2)\), \(t\in [0,1]\).
Piilota/näytä ratkaisu
Nyt \(\br'(t)=\bi+\bj+2t\bk\), joten \(\|\br'(t)\|=\sqrt{1+1+(2t)^2}=\sqrt{2+4t^2}\).
Lisäksi \(f(\br(t))=f(x(t),y(t),z(t))=2t+4t=6t\), joten
\[\int_C f\, ds = \int_0^1 6t \sqrt{2+4t^2}\, dt =
\frac{1}{2}\bigg/_{\!\!\!\!\! 0}^1 (2+4t^2)^{3/2} = 3\sqrt{6}-\sqrt{2}.\]