\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Yhteenveto¶

Näkökulmia konservatiivisuuteen¶

Seuraava yleinen tulos kokoaa yhteen vektorikenttiin liittyviä ominaisuuksia. Perustelut ovat tällä kurssilla lähinnä oheislukemista, vaikka osaa niistä on käsitelty jo aikaisemmin. Lauseen kolme ensimmäistä ehtoa ovat yhtäpitäviä kaikissa tilanteissa, joten mikä tahansa niistä voidaan ottaa konservatiivisen vektorikentän määritelmäksi. Sen sijaan neljättä ehtoa ei pitäisi käyttää määritelmänä, vaikka sitäkin joskus näkee. Oikea nimitys ehdon (iv) toteuttaville vektorikentille on ”suljettu”(closed).

Lause 3.5.1

Olkoon \(D\subset\mathbf{R}^n\) avoin ja yhtenäinen. Jatkuvalle vektorikentälle \({\bf F}\colon D\to {\bf R}^n\) seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä\(\,\) (Lauseessa ei siis oteta kantaa siihen, onko jokin kohta voimassa vektorikentälle \(\mathbf{F}\) vai ei. Kysymys on siitä, että tietty kohta on voimassa tutkittavalle vektorikentälle täsmälleen silloin, kun kaikki muutkin ovat):

\((i)\) Vektorikenttä \({\bf F}\) on konservatiivinen, ts. jokaista umpinaista käyrää \(C\subset D\) pitkin pätee

\[\oint_C {\bf F}\cdot {\bf dr} =0.\]
\((ii)\) Jos käyrän \(C_1\subset D\) alkupiste on sama kuin käyrällä \(C_2\subset D\), ja vastaava pätee niiden päätepisteille, niin

\[\int_{C_1} {\bf F}\cdot {\bf dr} =\int_{C_2} {\bf F}\cdot {\bf dr}.\]
\((iii)\) \({\bf F}=\nabla u\), eli vektorikentällä \({\bf F}\) on potentiaali (ts. \({\bf F}\) on gradienttikenttä eli eksakti vektorikenttä).

Jatkuvasti derivoituvalle vektorikentälle yhdesti yhtenäisessä alueessa (ks. 1.3) näihin voidaan vielä lisätä kaksi muuta ehtoa

\((iv)\) Kaikille indekseille \(1\le i,j\le n\) pätee

\[\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\]

alueessa \(D\).
\((v)\) Alueessa \(D\) pätee \(\nabla \times \mathbf{F}=\overline{0}\). Tämä koskee vain tapausta \(n=3\) ja siihen palataan luvussa 6.

Piilota/näytä todistus

Perustelun idea:

\((i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (iv)\). Lisäksi aina \((iii) \Rightarrow (iv)\) ja lisäehdoilla \((iv) \Rightarrow (ii)\). Ehto \((v)\) on käytännössä sama kuin \((iv)\) toisella tavalla kirjoitettuna, katso kappale Lähteisyys ja pyörteisyys.

\(\underline{(i) \Rightarrow (ii):}\) Kohtien \(i)\) ja \((ii)\) yhtäpitävyys on perusteltu jo aikaisemmin, mutta kirjoitetaan päättely vaadittuun suuntaan vielä uudelleen. Oletetaan siis, että \((i)\) on voimassa ja että käyrillä \(C_1,C_2\) on yhteiset alku- ja päätepisteet. Muodostetaan umpinainen käyrä \(C= C_1\cup C_{2-}\) ja sovelletaan siihen ehtoa \((i)\). Tällöin

\[0=\oint_C{\bf F}\cdot {\bf dr} = \int_{C_1}{\bf F}\cdot {\bf dr}+\int_{C_{2-}}{\bf F}\cdot {\bf dr} = \int_{C_1}{\bf F}\cdot {\bf dr} -\int_{C_{2}}{\bf F}\cdot {\bf dr},\]

josta väite seuraa.

\(\underline{(ii) \Rightarrow (iii):}\) Oletetaan, että \((ii)\) on voimassa. Valitaan kiinteä piste \(\mathbf{r}_0\in D\), josta seuraavassa päättelyssä tulee potentiaalin nollakohta. Olkoon \(\mathbf{r}\in D\) jokin toinen piste. Koska \(D\) on polkuyhtenäinen, niin on olemassa murtoviiva (Murtoviiva on käyrä, joka muodostuu äärellisestä määrästä peräkkäisiä janoja.) \(C_{\mathbf{r}}\), joka yhdistää pisteen \(\mathbf{r}_0\) pisteeseen \(\mathbf{r}\) joukossa \(D\). Oletuksen (ii) perusteella kaava

\[u(\mathbf{r}) =\int_{C_{\mathbf{r}}} {\bf F}\cdot {\bf dr}\]

määrittelee yksikäsitteisen funktion \(u \colon D\to\mathbf{R}\), sillä integraalin arvo ei riipu murtoviivan \(C_{\mathbf{r}}\) valinnasta. Tarkoituksena on osoittaa, että \(\nabla u = \mathbf{F}\), johon riittää ehdon \(u_x=F_1\) todistaminen, sillä muut koordinaatit voidaan käsitellä samalla tavalla.

Olkoon \(\varepsilon > 0\). Koska \(D\) on avoin ja \(F_1\) on jatkuva pisteessä \(\mathbf{r}\), niin on olemassa sellainen \(\delta > 0\), että \(B(\mathbf{r},\delta)\subset D\) ja että

\[\| \mathbf{x}-\mathbf{r}\|<\delta \Rightarrow |F_1(\mathbf{x})-F_1(\mathbf{r})|<\epsilon.\]

Valitaan \(\mathbf{x}=\mathbf{r}+h\mathbf{e}_1\), jossa \(|h|<\delta\), ja käytetään arvon \(\varphi(\mathbf{r}+h\mathbf{e}_1)\) laskemiseen murtoviivaa, jossa käyrää \(C_{\mathbf{r}}\) on jatkettu janalla \(J_h=[\mathbf{r}, \mathbf{r}+h\mathbf{e}_1]\subset B(\mathbf{r},\delta)\); vrt. kuvio.

Tällöin

\[u(\mathbf{r}+h\mathbf{e}_1)-u(\mathbf{r}) =\left(\int_{C_{\mathbf{r}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{dr}+\int_{J_h} \mathbf{F}\cdot \mathbf{dr}\right) -\int_{C_{\mathbf{r}}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{dr} =\int_{J_h} \mathbf{F}\cdot \mathbf{dr},\]

sillä integraalit käyrän \(C_{\mathbf{r}}\) yli kumoavat toisensa. Janalla \(J_h\) on parametrisointi \(\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}+th\mathbf{e}_1\), kun \(0\le t\le 1\), jolloin \(\mathbf{r}'(t)=h\mathbf{e}_1\) ja edelleen

\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = hF_1(\mathbf{r}(t)).\]

Näin ollen

\[u (\mathbf{r}+h\mathbf{e}_1)-u(\mathbf{r}) =h\int_0^1 F_1(\mathbf{r}(t))\, dt.\]

Käyttämällä temppua

\[F_1(\mathbf{r})=\int_0^1 F_1(\mathbf{r})\, dt\]

(integroitava funktio on muuttujan \(t\) suhteen vakio!) saadaan nyt

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \left| \frac{u(\mathbf{r}+h\mathbf{e}_1)- u(\mathbf{r})}{h}-F_1(\mathbf{r})\right| &=& \left| \int_0^1 ( F_1(\mathbf{r}(t))- F_1(\mathbf{r}))\, dt\right|\nonumber \\ &\le &\int_0^1 \underbrace{|F_1(\mathbf{r}(t))- F_1(\mathbf{r})|}_{< \varepsilon}\, dt < \varepsilon. \nonumber \end{array}\end{split}\]

Raja-arvon määritelmän perusteella tästä seuraa, että \(u_x=F_1\).

Huomautus 3.5.2

Toinen vaihtoehto erotusosamäärän raja-arvon laskemiseksi on integraalilaskennan keskiarvoperiaate, jonka mukaan

\[\int_0^1 F_1(\mathbf{r}(t))\, dt = \frac11 F_1(\mathbf{r}(c)) \underset{h\to 0}{\to} F_1(\mathbf{r}).\]

\(\underline{(iii) \Rightarrow (i):}\) Tämä todistettiin jo aikaisemmin lauseessa 3.3.10.

\(\underline{(ii) \Rightarrow (iv):}\) Tämä on todistettu jo aikaisemmin kohdassa (2), eikä siihen tarvita yhdesti yhtenäisyyttä.

\(\underline{(iv) \Rightarrow (iii) \text{yhdesti yhtenäisessä alueessa} D:}\) Oletetaan, että \((iv)\) on voimassa. Valitaan kiinteä piste (= potentiaalin nollakohta) \(\mathbf{r}_0\in D\) ja määritellään potentiaali kaavalla

\[u(\mathbf{r}) =\int_{C_{\mathbf{r}}} {\bf F}\cdot {\bf dr},\]

jossa (paloittain jatkuvasti derivoituva) käyrä \(C_{\mathbf{r}}\subset D\) yhdistää pisteen \(\mathbf{r}_0\) pisteeseen \(\mathbf{r}\) ja \(C_{\mathbf{r}}\) koostuu pelkästään koordinaattiakseleiden suuntaisista janoista.

Funktio \(u\) on hyvin määritelty, sillä tämän viivaintegraalin tulos ei riipu käyrän \(C_{\mathbf{r}}\) valinnasta. Tarkka perustelu vaatii enemmän yksityiskohtia, mutta alla oleva kuva havainnollistaa yksinkertaisinta tilannetta tasossa: ylin ja alin käyrä tuottavat saman viivaintegraalin, koska soveltamalla Greenin kaavaa välivaiheen suorakulmioon \(S\) nähdään seuraavalla tavalla, että ylä- ja alakautta saadaan sama tulos. Oletuksen \((iv)\) perusteella Greenin kaavan tasointegraalissa on

\[\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} = 0\]

ja yhdesti yhtenäisyydestä seuraa, että suorakulmio \(S\) sisältyy kokonaan alueeseen \(D\). Näin siis viivaintegraali reunaa \(\partial S\) pitkin häviää, joka on yhtäpitävää väitteen kanssa.

Yleisessä tapauksessa tarvitaan useita tällaisia välivaiheita muuntamaan kaksi käyrää toisikseen, ja tapauksessa \(n\ge 3\) menettely täytyy vielä yleistää eri koordinaattitasoihin.

Potentiaaliehdon todistamiseksi tarkastellaan seuraavassa vain yksinkertaisinta tilannetta tasossa, kun käyrä \(C_{\mathbf{r}}\) koostuu vain yhdestä vaakasuorasta ja yhdestä pystysuorasta janasta. Tämä tilanne kattaa esimerkiksi koko avaruuden, kaikki puoliavaruudet ja suorakulmaiset särmiöt \(D\), mutta yleinen tapaus ei ole kovin paljon hankalampi.

Olkoon siis \(\mathbf{r}_0=(x_0,y_0)\), \(\mathbf{r}=(x,y)\), ja integroidaan ensin vaaka- ja sitten pystysuoraa janaa pitkin:

\[u(\mathbf{r}) = \int_{[x_0,x]} F_1\, dx +\int_{[y_0,y]} F_2\, dy= \int_{x_0}^{x} F_1(t,y_0)\, dt +\int_{y_0}^{y} F_2(x,t)\, dt,\]

sillä vaakasuorassa parametrisoinnissa \(x=t\) on \(dx=dt\) ja \(dy=0\), pystysuorassa parametrisoinnissa \(y=t\) on \(dx=0\) ja \(dy=dt\). Tällöin ominaisuuden (iv) mukaan

\[\frac{\partial F_2}{\partial x}= \frac{\partial F_1}{\partial y},\]

joten derivaatan ja integraalin laskusääntöjen perusteella

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} u_x &=& \frac{\partial}{\partial x}\int_{x_0}^{x} F_1(t,y_0)\, dt +\frac{\partial}{\partial x} \int_{y_0}^{y} F_2(x,t)\, dt \nonumber \\ &=& F_1(x,y_0)+\int_{y_0}^{y} \frac{\partial}{\partial x}F_2(x,t)\, dt \nonumber \\ &=& F_1(x,y_0)+\int_{y_0}^{y} \frac{\partial}{\partial y}F_1(x,t)\, dt \nonumber \\ &=& F_1(x,y_0)+\bigg/_{\!\!\!\!\! {y_0}}^y F_1(x,t)\, dt \nonumber \\ &=& F_1(x,y_0)+(F_1(x,y)-F_1(x,y_0)) =F_1(x,y), \nonumber \end{array}\end{split}\]

ja hieman helpommin

\[u_y = \frac{\partial}{\partial y}\int_{x_0}^{x} F_1(t,y_0)\, dt +\frac{\partial}{\partial y} \int_{y_0}^{y} F_2(x,t)\, dt = 0 +F_2(x,y) = F_2(x,y).\]

Näin ollen \(\varphi\) on vektorikentän \(\mathbf{F}\) potentiaali.

Lause on siis kokonaan todistettu.

Yhdesti yhtenäisyys\(^*\)¶

Käsitellään vielä lopuksi oheislukemisena yhdesti yhtenäisyyden täsmällinen määritelmä.

Määritelmä 3.5.3

Joukko \(A\subset \R^n\) on yhdesti yhtenäinen, jos

(i) se on polkuyhtenäinen, eli kaikki pisteet \(a,b\in A\) voidaan yhdistää toisiinsa käyrällä \(C\subset A\), ja

(ii) jokainen umpinainen käyrä \(C\subset A\) voidaan jatkuvalla tavalla kutistaa yhdeksi pisteeksi \(\br_0\in A\) niin, että välivaiheet ja lopputulos \(\br_0\) pysyvät koko ajan joukon sisällä.

Jälkimmäisen ehdon täsmällinen muotoilu: Jos umpinainen käyrä \(C\subset A\) on parametrisoitu yksikköympyrässä \(S=\{ (x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\) jatkuvan funktion \(f\colon S\to C\) avulla, niin on olemassa suljetussa yksikkökiekossa \(\overline{B}=\{ (x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\le 1\}\) määritelty jatkuva funktio \(F\colon \overline{B}\to A\), jolle \(F(x,y)=f(x,y)\) kaikilla \((x,y)\in S\). Tällaista funktiota kutsutaan funktion \(f\) jatkuvaksi jatkeeksi yksikkökiekkoon \(\overline{B}\).

Napakoordinaattien avulla käyrän \(C\) jatkuva muunnos yhdeksi pisteeksi joukon \(A\) sisällä voidaan silloin esittää lausekkeen \(F((1-t)\cos\theta,(1-t)\sin\theta)\) avulla: Kun \(t=0\), kyseessä on alkuperäisen käyrän \(C\) parametrisointi kulman \(\theta\) avulla, ja arvolla \(t=1\) saadaan yksi ainoa piste \(\br_0=F(0,0)\). Tällaista kahden funktion välistä jatkuvaa muutosta kutsutaan homotopiaksi; (homotopy) jälkimmäisellä funktiolla on tässä vakioarvo \(\br_0\), ja homotopiaparametrin \(t\) konkreettinen tulkinta voisi olla esimerkiksi aika.

Tason rajoitettu, avoin ja yhtenäinen osajoukko \(D\subset\R^2\) on yhdesti yhtenäinen täsmälleen silloin, kun sen reuna \(\partial D\) on yhtenäinen. Tämä ehto ei toimi rajoittamattomille osajoukoille: esimerkiksi kahden yhdensuuntaisen suoran väliin jäävä alue on yhdesti yhtenäinen, vaikka sen reuna koostuu kahdesta erillisestä suorasta (Tietysssä mielessä yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa ”äärettömyydessä”. Tällä tulkinnalla reunan yhtenäisyys tarkoittaa samaa kuin yhdesti yhtenäisyys kaikille tason avoimille joukoille).

Oikean puoleisen ellipsin sisältä puuttuva piste tuhoaa yhdesti yhtenäisyyden. Puuttuvan pisteen kiertävä silmukka voidaan toki kutistaa jatkuvalla tavalla yhdeksi pisteeksi, mutta tämän täytyy olla nimenomaan ellipsistä poistettu piste, joka ei kuulu tarkasteltavaan joukkoon!

Kolmiulotteisessa avaruudessa kahden sisäkkäisen pallon väliin jäävä alue sen sijaan on yhdesti yhtenäinen. Tyypillinen esimerkki kolmiulotteisesta joukosta, joka ei ole yhdesti yhtenäinen, on umpinainen origokeskinen yksikköpallo, josta on poistettu kaikki \(z\)-akselilla sijaitsevat pisteet: poistetun halkaisijan ympäri kiertävää silmukkaa ei voida kutistaa pisteeksi joukon sisällä.