\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Avaruusintegraalin laskeminen sylinteri- ja pallokoordinaateilla

Sylinterikoordinaatit

Ilmaistaan määritelmän 8.1.6 \(xy\)-projisoituvan joukon \(T\subset\R^3\) projektiojoukon \(R\subset\R^2\) pisteet \((x,y)\) napakoordinaattien \((r,\theta)\) avulla, ts. \(x=r\cos\theta\) ja \(y=r\sin\theta\). Tällöin esitystä \((r,\theta,z)\) joukon \(T\subset\R^3\) pisteille \((x,y,z)\) kutsutaan sylinterikoordinaateiksi (cylindrical coordinates):

(1)\[\begin{split}\boxed{\begin{cases} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ z=z. \end{cases}}\end{split}\]
../_images/avaruusintsylinteri.svg

\(\begin{aligned}&r=\sqrt{x^2+y^2}\ge0\\&\theta\in[0,2\pi]\text{ tai }[-\pi,\pi]\\&z\in\R\end{aligned}\)

Jos pisteitä \((x,y)\in R\) vastaavat napakoordinaatit \((r,\theta)\in S\), niin siirtymällä napakoordinaatteihin lauseen 7.4.1 mukaisesti saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \iiint_Tf(x,y,z)\,dV &=\iint_R\bigg(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\bigg)\,dx\,dy\\ &=\iint_S\bigg(\int_{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,dz\bigg)r\,dr\,d\theta\\ &=\iiint_Uf(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta, \end{aligned}\end{split}\]

missä pisteitä \((x,y,z)\in T\) vastaavat sylinterikoordinaatit \((r,\theta,z)\in U\). Saatiin perusteltua:

Lause 8.2.1

Olkoon \(T\subset\R^3\) \(xy\)-projisoituva joukko, \(f\colon T\to\R\) jatkuva ja pisteitä \((x,y,z)\in T\) vastaavat sylinterikoordinaatit \((r,\theta,z)\in U\). Tällöin

\[\iiint_Tf(x,y,z)\,dV=\iiint_Uf(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz.\]

Siirryttäessä integroimaan sylinterikoordinaateissa

  • sijoita \(f(x,y,z)\):n lausekkeeseen muunnokset (1),

  • kerro integroitava funktio \(r\):llä,

  • määritä \(T\):n rajat sylinterikoordinaateissa (joukko \(U\)).

Tässä \(r\) on tilavuuden suurennussuhde (ks. luku ??).

Sylinterikoordinaatteja kannattaa kokeilla tapauksissa, joissa integroimisjoukko \(T\) on sylinterisymmetrinen tai funktiossa esiintyy lauseke \(x^2+y^2=r^2\).

Esimerkki 8.2.2

Lasketaan esimerkki 8.1.9 käyttäen sylinterikoordinaatteja: funktio on \(x^2+y^2=r^2\) ja \(T\):n rajat ovat \(0\le\theta\le2\pi\), \(0\le r\le3\) ja \(1\le z\le5-x=5-r\cos\theta\), joten voidaan kirjoittaa suoraan

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iiint_T(x^2+y^2)\,dV =\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_1^{5-r\cos\theta}r^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^3\sij{1}{5-r\cos\theta}r^3z\,dr\,d\theta =\int_0^{2\pi}\int_0^3(4r^3-r^4\cos\theta)\,dr\,d\theta =\cdots=162\pi. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 8.2.3

Laske \(\displaystyle\iiint_T(x^2+y^2)\,dV\), missä

\[T=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x,y,z\ge0,\ x^2+y^2\le1,\ z\le2-x^2-y^2\}.\]
Piilota/näytä ratkaisu

\(T\) on \(1\)-säteisen sylinterin ensimmäisessä koordinaattikahdeksanneksessa oleva osa, jota rajoittaa alhaalta \(xy\)-taso \(z=0\) ja ylhäältä pinta \(z=2-x^2-y^2=2-r^2\). Piirrä kuva! Lisäksi \(x^2+y^2=r^2\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iiint_T(x^2+y^2)\,dV =\int_0^{\pi/2}\int_0^1\int_0^{2-r^2}r^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}\int_0^1\sij{0}{2-r^2}r^3z\,dr\,d\theta =\int_0^{\pi/2}\int_0^1(2-r^2)r^3\,dr\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}\sij{0}{1}\left(\frac12r^4-\frac16r^6\right)\,d\theta =\frac13\int_0^{\pi/2}\,d\theta=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}. \end{aligned}\end{split}\]

Pallokoordinaatit

Merkitään paikkavektorin \((x,y,z)\) pituutta \(\rho\):lla, positiivisen \(z\)-akselin ja paikkavektorin \((x,y,z)\) välistä kulmaa \(\phi\):llä sekä positiivisen \(x\)-akselin ja projektiovektorin \((x,y)\) välistä kulmaa \(\theta\):lla kuvan mukaisesti.

Alla olevan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta päätellään, että

\[r=\rho\sin\phi \qquad\text{ja}\qquad z=\rho\cos\phi.\]
../_images/avaruusintpallo2.svg

\((r,\theta)\) on projektiovektorin \((x,y)\) napakoordinaattiesitys, joten

\[x=r\cos\theta=\rho\sin\phi\cos\theta \qquad\text{ja}\qquad y=r\sin\theta=\rho\sin\phi\sin\theta.\]

Esitystä \((\rho,\phi,\theta)\) pisteelle \((x,y,z)\in\R^3\) kutsutaan pallokoordinaateiksi (spherical coordinates):

(2)\[\begin{split}\boxed{\begin{cases} x=\rho\sin\phi\cos\theta,\\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\\ z=\rho\cos\phi. \end{cases}}\end{split}\]

Lause 8.2.4

Olkoon \(T\subset\R^3\) ”riittävän siisti” joukko, jolle pisteitä \((x,y,z)\in T\) vastaavat pallokoordinaatit \((\rho,\phi,\theta)\in U\), ja olkoon \(f\colon T\to\R\) jatkuva. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iiint_Tf(x,y,z)\,dV\\ &=\iiint_Uf(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi) \,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta. \end{aligned}\end{split}\]

Siirryttäessä integroimaan pallokoordinaateissa

  • sijoita \(f(x,y,z)\):n lausekkeeseen muunnokset (2),

  • kerro integroitava funktio luvulla \(\rho^2\sin\phi\),

  • määritä \(T\):n rajat pallokoordinaateissa (joukko \(U\)).

Tässä \(\rho^2\sin\phi\) on tilavuuden suurennussuhde (ks. luku ??).

Pallokoordinaatteja kannattaa kokeilla tapauksissa, joissa integroimisjoukko \(T\) on pallosymmetrinen tai funktiossa esiintyy lauseke \(x^2+y^2+z^2=\rho^2\).

Esimerkki 8.2.5

Laske \(a\)-säteisen pallon \(T\) tilavuus.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon \(a\)-säteisen pallon \(T\) keskipiste origossa. Tällöin \(T\):n rajat pallokoordinaateissa ovat \(0\le\rho\le a\), \(0\le\phi\le\pi\) ja \(0\le\theta\le2\pi\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} v(T)&=\iiint_T1\,dV =\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^a\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &=\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\right)\left(\int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi\right)\left(\int_0^a\rho^2\,d\rho\right)\\ &=2\pi\left(\sij{0}{\pi}-\cos\phi\right)\left(\sij{0}{a}\frac{\rho^3}{3}\right) =2\pi\cdot2\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{4\pi a^3}{3}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 8.2.6

Laske \(\displaystyle\iiint_T(x^2+y^2+z^2)\,dV\), missä

\[T=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2+z^2\le2,\ x\le0,\ z\ge0\}.\]
Piilota/näytä ratkaisu

\(T\) on \(\sqrt2\)-säteisen pallon neljännes (piirrä kuva!) ja \(x^2+y^2+z^2=\rho^2\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iiint_T(x^2+y^2+z^2)\,dV =\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\sqrt2}\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &=\left(\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\,d\theta\right)\left(\int_0^{\pi/2}\sin\phi\,d\phi\right)\left(\int_0^{\sqrt2}\rho^4\,d\rho\right)\\ &=\left(\sij{\pi/2}{3\pi/2}\theta\right)\left(\sij{0}{\pi/2}-\cos\phi\right)\left(\sij{0}{\sqrt2}\frac{\rho^5}{5}\right) =\pi\cdot1\cdot\frac{4\sqrt2}{5}=\frac{4\sqrt2\pi}{5}. \end{aligned}\end{split}\]
Palautusta lähetetään...