\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Massa ja massakeskipiste
Tarkastellaan kappaletta \(T\subset\R^3\). Olkoon \(T\):n tiheys pisteessä \((x,y,z)\) (etäisyydet metreinä) \(\rho(x,y,z)\) (kg/m\(^3\)). Valitaan \(T\):lle määritelmän 8.1.1 mukaiset (pienet) särmiöt \(T_{ijk}\subset T\). \(\rho\) on oleellisesti vakio särmiössä \(T_{ijk}\), joten tiheyttä särmiössä \(T_{ijk}\) voidaan arvioida luvulla \(\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\). Siten särmiön \(T_{ijk}\) massa on \(m_{ijk}\approx\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,v(T_{ijk})\) ja
(1)\[\begin{split}\begin{aligned}
\iiint_T\rho(x,y,z)\,dV
&\approx\mathop{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^p}_{T_{ijk}\subset T}\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,v(T_{ijk})\\
&\approx\mathop{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^p}_{T_{ijk}\subset T}m_{ijk}
=m,
\end{aligned}\end{split}\]
missä \(m\) on \(T\):n kokonaismassa. Arviot paranevat, kun jakoa tihennetään. Rajalla \(|P|\to0\) päädytään määritelmään: \(T\):n massa on
\[\boxed{m=\iiint_T\rho\,dV.}\]
Jos \(p\) kappaletta massapisteitä \(m_i\) ovat paikoissa \(\br_i=(x_i,y_i,z_i)\), niin kokonaismassa on
\[m=\sum_{i=1}^pm_i\]
ja systeemin massakeskipiste \(\br=(\overline{x},\overline{y},\overline{z})\) on paikkavektoreiden \(\br_i\) massoilla \(m_i\) painotettu keskiarvo
\[\br=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^pm_i\br_i,\]
eli koordinaateittain
(2)\[\overline{x}=\frac1m\sum_{i=1}^pm_ix_i
\quad\overline{y}=\frac1m\sum_{i=1}^pm_iy_i\quad\text{ja}\quad
\overline{z}=\frac1m\sum_{i=1}^pm_iz_i.\]
Tulkitsemalla arviossa (1) särmiöt \(T_{ijk}\) massapisteiksi saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
\overline{x}
&\approx\frac{1}{m}\mathop{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^p}_{T_{ijk}\subset T}m_{ijk}x_{ijk}^*
\approx\frac{1}{m}\mathop{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^p}_{T_{ijk}\subset T}x_{ijk}^*\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\,v(T_{ijk})\\
&\approx\frac{1}{m}\iiint_Tx\rho(x,y,z)\,dV.
\end{aligned}\end{split}\]
\(\overline{y}\) ja \(\overline{z}\) tutkitaan vastaavasti. Mentäessä rajalle \(|P|\to0\) arviot paranevat, joten kappaleen \(T\) massakeskipisteen \((\overline{x},\overline{y},\overline{z})\) koordinaatit on perusteltua määritellä
\[\boxed{\overline{x}=\frac{1}{m}\iiint_Tx\rho\,dV,\quad
\overline{y}=\frac{1}{m}\iiint_Ty\rho\,dV,\quad
\overline{z}=\frac{1}{m}\iiint_Tz\rho\,dV.}\]
Vastaavalla tavoin \(T\):n hitausmomenteiksi \(x\), \(y\) ja \(z\)-akselien suhteen voidaan perustella määritelmät
\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned}
I_x&=\iiint_T(y^2+z^2)\rho\,dV,\\
I_y&=\iiint_T(x^2+z^2)\rho\,dV,\\
I_z&=\iiint_T(x^2+y^2)\rho\,dV.
\end{aligned}}\end{split}\]
Esimerkki 8.3.1
Laske tasa-aineisen (\(\rho(x,y,z)=k=\) vakio) pallon kahdeksanneksen
\[T=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2+z^2\le a^2,\ x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0\}\]
massakeskipiste.
Piilota/näytä ratkaisu
Nyt
\[\begin{aligned}
m=\iiint_T\rho\,dV=kv(T)=k\cdot\frac18\cdot\frac{4\pi a^3}{3}=\frac{\pi a^3k}{6}.
\end{aligned}\]
Oltaisiin voitu myös integroida pallokoordinaatteja käyttäen. Symmetrian nojalla \(\overline{x}=\overline{y}=\overline{z}\). Riittää siis laskea
\[\begin{split}\begin{aligned}
\overline{z}
&=\frac{1}{m}\iiint_Tz\rho\,dV
=\frac{6}{\pi a^3k}\int_0^a\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\rho\cos\phi\,k\,\rho^2\sin\phi\,d\theta\,d\phi\,d\rho\\
&=\frac{6}{\pi a^3}\left(\int_0^a\rho^3\,d\rho\right)\left(\int_0^{\pi/2}\cos\phi(\sin\phi)^1\,d\phi\right)\left(\int_0^{\pi/2}\,d\theta\right)\\
&=\frac{6}{\pi a^3}\cdot\frac{a^4}{4}\left(\sij{0}{\pi/2}\frac12\sin^2\phi\right)\frac{\pi}{2}
=\frac{3a}{8}.
\end{aligned}\end{split}\]
\(T\):n massakeskipiste on siis \((3a/8,\,3a/8,\,3a/8)\). Onko tulos järkevä? Piirrä kuva!
Esimerkki 8.3.2
Laske tasa-aineisen (\(\rho(x,y,z)=k=\) vakio) ympyräpohjaisen sylinterin hitausmomentti symmetria-akselin suhteen, kun sylinterin säde on \(a\) ja korkeus \(h\).
Piilota/näytä ratkaisu
Asetetaan sylinteri koordinaatistoon siten, että symmetria-akselina on \(z\)-akseli, pohja on \(xy\)-tasolla ja katto korkeudella \(z=h\). On laskettava hitausmomentti \(z\)-akselin suhteen. Käytetään sylinterikoordinaatteja:
\[\begin{split}\begin{aligned}
I_z&=\iiint_T(x^2+y^2)\rho\,dV
=k\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^h\underbrace{(r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta)\,r}_{\displaystyle=r^3}\,dz\,dr\,d\theta\\
&=k\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\right)\left(\int_0^ar^3\,dr\right)\left(\int_0^h\,\,dz\right)
=k\cdot2\pi\cdot\frac{a^4}{4}\cdot h
=\frac{\pi a^4hk}{2}.
\end{aligned}\end{split}\]
Taulukkokirjoissa hitausmomentit ilmoitetaan yleensä massan avulla. \(T\):n massa on
\[m=\iiint_T\rho\,dV=kv(T)=\pi a^2hk,\]
joten \(I_z=\dfrac12\pi a^2hk\cdot a^2=\dfrac12ma^2\).