\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Epäoleelliset avaruusintegraalit
Edellä taso- ja avaruusintegraaleissa oletettiin, että integroimisjoukko \(A\) on rajoitettu (eli \(A\) sisältyy johonkin origokeskiseen palloon \(B(\bo,R)\)) ja että funktio \(f\) on rajoitettu (eli on olemassa \(m\) ja \(M\in\R\) siten, että \(m\le f(\bx)\le M\) kaikilla \(\bx\in A\)). Tutkitaan integroituvuutta myös tapauksissa, joissa \(A\) tai \(f\) ei ole rajoitettu.
Rajoittamaton integroimisjoukko
Olkoon \(A\subset\R^3\) ”riittävän siisti” rajoittamaton joukko, \(f\colon A\to\R\) rajoitettu funktio ja \(f(x,y,z)\ge0\) kaikilla \((x,y,z)\in A\). Valitaan kasvava jono rajoitettuja joukkoja \(A_k\subset A\), jotka tyhjentävät \(A\):n, ts.
(1)\[A_1\subset A_2\subset A_3\subset\cdots\quad\text{ja}\quad
\bigcup_{k=1}^\infty A_k=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots=A.\]
Oletetaan vielä, että \(f\) on integroituva jokaisessa joukossa \(A_k\). Silloin määritellään
\[\boxed{\iint_Af(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}\]
Voidaan osoittaa, että ei-negatiiviselle (tai ei-positiiviselle) \(f\) tämä raja-arvo on aina olemassa joko ei-negatiivisena reaalilukuna (jolloin integraali suppenee) tai lukuna \(\infty\) (jolloin integraali hajaantuu), ja että raja-arvo ei riipu joukkojonon \((A_k)_{k=1}^\infty\) valinnasta.
Rajoittamaton funktio
Olkoon \(A\subset\R^3\) ”riittävän siisti” rajoitettu joukko, \(f\colon A\to\R\) rajoittamaton funktio ja \(f(x,y,z)\ge0\) kaikilla \((x,y,z)\in A\). Valitaan kasvava jono rajoitettuja joukkoja \(A_k\subset A\) siten, että \(f\) on rajoitettu ja integroituva jokaisessa joukossa \(A_k\) ja että joukot \(A_k\) tyhjentävät \(A\):n, ts. (1) pätee. Silloin määritellään
\[\boxed{\iint_Af(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}\]
Voidaan osoittaa, että ei-negatiiviselle \(f\) tämä raja-arvo on aina olemassa joko ei-negatiivisena reaalilukuna tai lukuna \(\infty\), ja että raja-arvo ei riipu joukkojonon \((A_k)_{k=1}^\infty\) valinnasta.
Esimerkki 8.4.1
Laske
\[I=\iiint_{\R^3}e^{-(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dx\,dy\,dz.\]
Piilota/näytä ratkaisu
Integrandi on selvästi rajoitettu (\(0<f(x,y,z)\le1\)), mutta integroimisjoukko \(\R^3\) on rajoittamaton. Valitaan \(A_k\):ksi origokeskinen \(k\)-säteinen pallo eli \(A_k=\overline{B}(\bo,k)=\{(x,y,z)\in\R^3 : x^2+y^2+z^2\le k^2\}\).
Integroimalla pallokoordinaateissa nähdään, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\iiint_{A_k}e^{-(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\,dx\,dy\,dz
&=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^ke^{-\rho^3}\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\
&=\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\right)\left(\int_0^\pi\sin\phi\,d\phi\right)\left(-\frac13\int_0^k-3\rho^2e^{-\rho^3}\,d\rho\right)\\
&=2\pi\cdot2\cdot\left(-\frac13\right)\sij{0}{k}e^{-\rho^3}
=-\frac{4\pi}{3}\left(e^{-k^3}-1\right)
\to\frac{4\pi}{3},
\end{aligned}\end{split}\]
kun \(k\to\infty\), joten \(I=4\pi/3\).