\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Käyrän määritelmä
Aloitetaan tutkimalla yhden muuttujan vektoriarvoista funktiota
(1)\[\br\colon[a,b]\to\R^n,\quad\br(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)).\]
Funktioita \(x_i\colon[a,b]\to\R\) kutsutaan \(\br\):n koordinaattifunktioksi tai komponenttifunktioiksi. Tapauksessa \(n=2\) merkitään usein
\[\begin{aligned}
\br(t)=(x(t),y(t))=x(t)\bi+y(t)\bj
\end{aligned}\]
ja tapauksessa \(n=3\)
\[\begin{aligned}
\br(t)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)\bi+y(t)\bj+z(t)\bk.
\end{aligned}\]
Vektoriarvoisen funktion (1) raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan määritelmät 1.1 ja 1.1 ovat erikoistapauksia luvun 5 määritelmistä ja ominaisuuksista yleisille (yhden tai useamman muuttujan) vektoriarvoisille funktioille. Yhden muuttujan tapaus on kuitenkin erityisluonteensa ja geometristen tulkintojensa vuoksi havainnollista esitellä tässä erikseen. Derivaattavektorin käyttöä mm. käyräintegraalissa pohditaan tarkemmin opintojaksolla Vektorianalyysi.
Lause 2.1.2
Vektoriarvoinen funktio (1) on jatkuva jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \(x_i(t)\) ovat jatkuvia.
Piilota/näytä todistus
\(\br\) on jatkuva \(t_0\):ssa
\[\begin{split}\begin{aligned}
\Leftrightarrow\ &\br(t_0)=\lim_{t\to t_0}\br(t)\\
\Leftrightarrow\ &(x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0))=\left(\lim_{t\to t_0}x_1(t),\ldots,\lim_{t\to t_0}x_n(t)\right)\\
\Leftrightarrow\ &x_i(t_0)=\lim_{t\to t_0}x_i(t)\text{ jokaisella }i\\
\Leftrightarrow\ &x_i\text{ on jatkuva }t_0\text{:ssa jokaisella }i.\qedhere
\end{aligned}\end{split}\]
Geometrisesti jatkuvuus tapauksessa \(n=2\) tarkoittaa sitä, että ”kuva voidaan piirtää kynää nostamatta”.
Tasokäyrää \(\br\) voidaan havainnollistaa piirtämällä pisteet \((x(t),y(t))\) muutamilla \(t\):n arvoilla ja yhdistämällä näin saadut pisteet.
Esimerkki 2.1.4
Kuva käyrästä \(\br(t)=(t^2,t^3-3t)\), \(-2\le t\le2\):
Käyrän jälki \(C\) voidaan ilmoittaa myös muulla tavoin kuin antamalla lauseke \(\br(t)\), jolloin tarvittaessa muodostetaan parametrisointi (parametrization) \(\br\colon[a,b]\to\R^n\), jolle \(\br([a,b])=C\). On huomattava, että käyrällä \(C\) on aina äärettömän monta erilaista parametrisointia.
Esimerkki 2.1.5
Yksikköympyrän \(C=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2+y^2=1\}\) parametrisoinniksi otetaan yleensä
\[\br(t)=(\cos t,\sin t),\quad0\le t\le2\pi.\]
Tätä parametrisointia muokkaamalla saadaan \(C\):lle samantapaisia parametrisointeja, joissa on eri vauhti, kiertosuunta tai alku- ja loppupiste:
\[\begin{split}\begin{aligned}
\br(t)&=(\cos(2t),\sin(2t)),&\quad0\le t\le\pi,\\
\br(t)&=(\cos(-t),\sin(-t))=(\cos(t),-\sin(t)),&\quad0\le t\le2\pi,\\
\br(t)&=(\cos(t+\pi/2),\sin(t+\pi/2)),&\quad0\le t\le2\pi,\\
\br(t)&=(\cos t,\sin t),&\quad0\le t\le5\pi.
\end{aligned}\end{split}\]
Näistä viimeisessä parametrisoinnissa kierretään yksikköympyrä \(2{,}5\) kertaa. Yleensä pyritään valitsemaan parametrisointi, jossa käyrä leikkaa itsensä korkeintaan alku- ja loppupisteissä. Tällöin sanotaan, että käyrä (parametrisointi) on yksinkertainen (simple).
Esimerkki 2.1.6
Tarkastellaan avaruuskäyriä
\[\begin{split}\begin{aligned}
\br(t)&=(\cos t,\sin t, t/10),&\ 0\le t\le 5\pi \textit{ (ruuvikäyrä, helix)},\\
\br(t)&=(t\cos t,t\sin t, t),&\ 0\le t\le 5\pi,\\
\br(t)&=(\cos t,\sin t,\cos(4t)),&\ 0\le t\le2\pi.
\end{aligned}\end{split}\]
Miksi parametrisoinnit tuottavat seuraavanlaiset jäljet?
Käyrän määrittelyväliksi voidaan suljetun ja rajoitetun välin \([a,b]\) sijasta ottaa myös mikä tahansa väli \(I\subset\R\) (avoin, puoliavoin tai rajoittamaton).
Huomautus 2.1.7
Pisteiden \(\ba\) ja \(\bb\) kautta kulkevan suoran virittäjävektoriksi voidaan valita \(\bd=\bb-\ba\), jolloin \(\bx\) on suoralla jos ja vain jos \(\bx=\ba+t\bd\) jollakin \(t\in\R\). Pistettä \(\ba\) kutsutaan kauttakulkupisteeksi. Seuraavaan kuvaan on piirretty pisteet \(\bx\) \(t\):n arvoilla \(t=-\frac12\), \(t=0\) (piste \(\ba\)), \(t=1\) (piste \(\bb\)) ja \(t=\frac32\). Suoran parametrisoinniksi käy siis
(2)\[\boxed{\br(t)=\ba+t(\bb-\ba),\quad t\in\R,}\]
ja pisteitä \(\ba\) ja \(\bb\) yhdistävän janan parametrisoinniksi
(3)\[\boxed{\br(t)=\ba+t(\bb-\ba),\quad t\in[0,1].}\]
Esimerkki 2.1.8
Missä pisteessä pisteiden \((1,2,3)\) ja \((6,5,4)\) kautta kulkeva suora leikkaa \(yz\)-tason?
Piilota/näytä ratkaisu
Parametrisoidaan suora:
\[\br(t)=(1,2,3)+t((6,5,4)-(1,2,3))=(5t+1,3t+2,t+3).\]
\(yz\)-tasolla \(x\)-koordinaatti on \(0\), ts. \(5t+1=0\), josta \(t=-\frac15\). \(yz\)-tason leikkauspiste on siis \(\br\left(-\frac15\right)=\left(0,\frac75,\frac{14}{5}\right)\).
Huomautus 2.1.9
Jatkuvan funktion \(f\colon[a,b]\to\R\) kuvaajalle \(y=f(x)\) voidaan ottaa parametrisoinniksi
\[\boxed{\br(t)=(t,f(t)),\quad t\in[a,b].}\]
Esimerkki 2.1.10
a) Käyrän \(y=\sin x\), \(0\le x\le\pi\), parametrisoinniksi käy \(\br(t)=(t,\sin t)\), \(0\le t\le\pi\).
b) Esimerkin 2.1.5 yksikköympyrällä \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\), joten se voidaan parametrisoida
\[\begin{split}\br(t)=\begin{cases}
(t,\sqrt{1-t^2}),&\text{kun }-1\le t\le1,\\
(2-t,-\sqrt{1-(2-t)^2}),&\text{kun }1\le t\le3.
\end{cases}\end{split}\]