\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Käyrän derivoituvuus ja muita ominaisuuksia¶

Määritelmä 2.2.1

Käyrä \(\br\) on derivoituva (differentiable) pisteessä \(t\in[a,b]\), jos on olemassa raja-arvo

\[\begin{aligned} \br'(t)=\lim_{h\to0}\frac{\br(t+h)-\br(t)}{h} \end{aligned}\]

ja derivoituva, jos \(\br\) on derivoituva jokaisella \(t\in[a,b]\). Raja-arvoa \(\br'(t)\) (ja funktiota \(\br'\colon[a,b]\to\R^n\)) kutsutaan derivaataksi tai derivaattavektoriksi.

Käyrän derivaatalle käytetään myös merkintöjä

\[\br'(t)=\frac{d\br(t)}{dt}=D_t(\br(t)).\]

Geometrinen tulkinta derivaatalle on, että jos \(\br'(t)\ne\bo\), niin \(\br'(t)\) on käyrän tangenttivektori pisteessä \(\br(t)\).

Määritelmästä 2.1.1 ja reaalifunktion derivaatan määritelmästä seuraa:

Lause 2.2.2

Käyrä \(\br(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))\) on derivoituva jos ja vain jos kaikki koordinaattifunktiot \(x_i(t)\) ovat derivoituvia. Tällöin

\[\begin{aligned} \br'(t)=(x_1'(t),\ldots,x_n'(t)). \end{aligned}\]

Toisin sanoen: käyrä derivoidaan koordinaateittain.

Määritelmä 2.2.3

Monissa sovelluksissa parametri \(t\) on aika ja \(\br(t)=(x(t),y(t),z(t))\) on massapisteen paikka ajanhetkellä \(t\), jolloin käyrän jälki \(C=\br([a,b])\) kuvaa massapisteen kulkemaa reittiä aikavälillä \(a\le t\le b\). Tällöin määritellään

\[\begin{split}\begin{aligned} \bv(t)&=\br'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))&&\textit{nopeus (velocity)}\\ v(t)&=\|\bv(t)\|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}&&\textit{vauhti (speed)}\\ \ba(t)&=\bv'(t)=\br''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))&&\textit{kiihtyvyys (acceleration)} \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.2.4

Olkoon kappaleen paikka \(\br(t)=(t,t^2,t^3)\) ajanhetkellä \(t\). Laske nopeus, vauhti ja kiihtyvyys kappaleen ollessa pisteessä \((2,4,8)\).

Piilota/näytä ratkaisu

Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} \bv(t)&=(1,2t,3t^2),\\ v(t)&=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\quad\text{ja}\\ \ba(t)&=(0,2,6t). \end{aligned}\end{split}\]

Kappale on kyseisessä pisteessä hetkellä \(t=2\), sillä \(\br(2)=(2,4,8)\). Siten kysytty nopeus on \(\bv(2)=(1,4,12)\), vauhti \(v(2)=\sqrt{161}\) ja kiihtyvyys \(\ba(2)=(0,2,12)\).

Esimerkki 2.2.5

Tarkastellaan esimerkin 2.1.4 käyrää \(\br(t)=(t^2,t^3-3t)\), \(-2\le t\le2\).

a) Laske tangenttivektori käyrän pisteeseen \((9/4,9/8)\).

b) Missä pisteissä käyrällä on vaakasuora tangentti?

c) Mitkä ovat käyrän ja \(x\)-akselin leikkauspisteet?

d) Tutki vauhtia \(v(t)\).

Piilota/näytä ratkaisu

a) Derivaatta on \(\br'(t)=(2t,3t^2-3)\). Koska \(\br(-3/2)=(9/4,9/8)\), niin kysytty derivaattavektori on \(\br'(-3/2)=(-3,15/4)\).

b) Käyrällä on vaakasuora tangentti, kun \(y'(t)=0\) (ja \(x'(t)\ne0\)). \(y'(t)=3t^2-3=0\ \Leftrightarrow\ t^2=1\ \Leftrightarrow\ t=\pm1\). Käyrällä on vaakasuora tangentti siis pisteissä \(\br(-1)=(1,2)\) ja \(\br(1)=(1,-2)\).

c) \(x\)-akselin leikkauspisteissä \(y(t)=0\), ts. \(t^3-3t=t(t^2-3)=0\ \Leftrightarrow\ t=0\) tai \(t=\pm\sqrt3\). Leikkauspisteet ovat siis \(\br(0)=(0,0)\) ja \(\br(-\sqrt3)=\br(\sqrt3)=(3,0)\).

d) Vauhti \(v(t)=\|\br'(t)\|=\sqrt{(2t)^2+(3t^2-3)^2}=\sqrt{9t^4-14t^2+9}\) on suurimmillaan alkupisteessä \(\br(-2)=(4,-2)\) ja loppupisteessä \(\br(2)=(4,2)\) ja pienimmillään \(t\):n arvoilla \(t\approx\pm0{,}88\) pisteissä \(\br(-0{,}88)\approx(0{,}78;\ 1{,}96)\) ja \(\br(0{,}88)\approx(0{,}78;\ -1{,}96)\) (ks. \(v(t)\):n kuvaaja).

Pohditaan vielä, milloin käyrän \(\br\) jälki \(C\) näyttää ”siistiltä” käyrältä. Käyrässä voi olla kärkiä, vaikka käyrä olisi derivoituva ja derivaattavektori jatkuva. Tästä käy esimerkiksi käyrä \(\br(t)=(t^2,t^3)\), \(-1\le t\le1\):

Tälle käyrälle \(\br'(t)=(2t,3t^2)\), joten \(\br'(0)=(0,0)\). Vauhti pysähtyy origossa \(\br(0)=(0,0)\), johon on silloin mahdollista muodostua kärki, vaikka \(\br'(t)\) onkin jatkuva. Seuraava ehto takaa, että käyrä näyttää sileältä.

Määritelmä 2.2.6

Käyrä \(\br\colon[a,b]\to\R^n\) on sileä (smooth),

jos \(\br'\) on jatkuva ja \(\br'(t)\ne\bo\) kaikilla \(t\in[a,b]\).

Esimerkki 2.2.7

Esimerkin 2.1.6 ruuvikäyrä \(\br(t)=(\cos t,\sin t, t/10)\) on sileä, sillä \(\br'(t)=(-\sin t,\cos t,1/10)\) on jatkuva ja \(\br'(t)\ne\bo\) kaikilla \(t\).