\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Kertaus: yhden muuttujan funktion integraali
Olkoon \(f\colon[a,b]\to\R\) rajoitettu funktio. Jaetaan väli \([a,b]\) osaväleihin jakopisteillä \(a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\). Jakopisteiden muodostamaa joukkoa \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) kutsutaan välin \([a,b]\) jaoksi (partition). Valitaan jokaiselta osaväliltä \([x_{i-1},x_i]\) piste \(x_i^*\) ja merkitään \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\), ts. \(\Delta x_i\) on \(i\):nnen osavälin pituus. Jaon normiksi \(|P|\) sanotaan pisimmän osavälin pituutta, ts. \(|P|=\max\{\Delta x_i:\ i=1,2,\ldots,n\}\). Summaa
\[R=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i\]
kutsutaan jakoon \(P\) ja pisteisiin \(x_i^*\) liittyväksi Riemannin summaksi.
Jos \(f(x)\ge0\), niin Riemannin summan kukin termi on kuvan mukaisen suorakulmion pinta-ala, joten Riemannin summa antaa arvion funktion \(f\) kuvaajan ja \(x\)-akselin väliin jäävän joukon pinta-alalle välillä \([a,b]\). Geometrisesti on ilmeistä, että arvio paranee, kun osavälijakoa tihennetään, ts. kun \(|P|\to0\). Tämä antaa motivaation integraalin määrittelemiseksi:
Geometrinen tulkinta määritelmälle on, että jos \(f(x)\ge0\) ja \(f\) on integroituva, niin luku
\[\int_a^bf(x)\,dx\]
on funktion \(f\) kuvaajan ja \(x\)-akselin väliin jäävän joukon pinta-ala.