\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Tasointegraali suorakulmiossa
Yleistetään integraali \(\R^2\):n osajoukkoihin. Edellä integroimisjoukkona oli yksiulotteinen väli \([a,b]\), joka jaettiin yksiulotteisiin osaväleihin. Joukko \(R\subset\R^2\) jaetaan vastaavasti kaksiulotteisiin osajoukkoihin. Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksessa, jossa \(R\) on suorakulmio
\[R=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y)\in\R^2:\ a\le x\le b,\ c\le y\le d\}.\]
Jaetaan välit \([a,b]\) ja \([c,d]\) osaväleihin käyttäen jakopisteitä
\[a=x_0<x_1<\cdots<x_{m-1}<x_m=b\]
ja
\[c=y_0<y_1<\cdots<y_{n-1}<y_n=d.\]
Nämä jaot jakavat suorakulmion \(R\) \(mn\) kappaleeseen osasuorakulmioita \(R_{ij}\), \(i=1,\ldots,m\), \(j=1,\ldots,n\). Osasuorakulmioiden kulmapisteiden muodostamaa joukkoa
\[P=\{(x_i,y_j):\ i=0,\ldots m,\ j=0,\ldots,n\}\]
kutsutaan suorakulmion \(R\) jaoksi (partition).
Merkitään osavälien pituuksia \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\) ja \(\Delta y_j=y_j-y_{j-1}\), jolloin osasuorakulmion \(R_{ij}\) pinta-ala on \(\Delta x_i\,\Delta y_j\). Jaon :math:`P` normi \(|P|\) on maksimi osasuorakulmioiden halkaisijoista, ts.
\[\begin{split}\begin{aligned}
&|P|=\max\{\operatorname{diam}(R_{ij}):\ i=1,2,\ldots,m,\ j=1,2,\ldots,n\},\quad\text{missä}\\
&\operatorname{diam}(R_{ij})=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_j)^2}.
\end{aligned}\end{split}\]
Valitaan lisäksi jokaisesta osasuorakulmiosta \(R_{ij}\) piste \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\). Jos \(f(x,y)\) on suorakulmiossa \(R\) määritelty reaaliarvoinen funktio, niin summaa
(1)\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j\]
kutsutaan jakoon \(P\) ja pisteisiin \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) liittyväksi funktion \(f\) Riemannin summaksi.
Jos \(f(x,y)\ge0\), niin Riemannin summan termi \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j\) on \(R_{ij}\)-pohjaisen \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\)-korkuisen suorakulmaisen särmiön tilavuus. Riemannin summa antaa siten approksimaation \(f\):n kuvaajan ja \(xy\)-tason väliin jäävän joukon tilavuudelle.
Geometrisesti on ilmeistä, että arvio paranee, kun osavälijakoa tihennetään, ts. kun \(|P|\to0\). Tämä antaa motivaation integraalin määrittelemiseksi:
Määritelmän raja-arvo tarkoittaa tarkemmin ottaen seuraavaa: raja-arvo on \(I\), jos kaikilla \(\epsilon>0\) on olemassa \(\delta>0\) siten, että
(2)\[\left|I-\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j\right|<\epsilon,\]
olipa \(P\) mikä tahansa joukon \(R\) jako ja \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) mitkä tahansa siihen liittyvät jakopisteet siten, että \(|P|<\delta\).
Geometrinen tulkinta määritelmälle on, että jos \(f(x,y)\ge0\) ja \(f\) on integroituva, niin funktion \(f\) kuvaajan ja \(xy\)-tason väliin jäävän joukon \(T\subset\R^3\) tilavuus \(v(T)\) on
(3)\[\boxed{v(T)=\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy.}\]
Lause 7.2.2 (Fubinin lause - viipalointiperiaate)
Suorakulmiossa \(R=[a,b]\times[c,d]\) jatkuva funktio \(f\colon R\to\R\) on integroituva ja
\[\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\int_c^df(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_a^bf(x,y)\,dx\,dy.\]
Piilota/näytä todistus
Oletetaan, että \(f(x,y)\ge0\), jolloin kyseessä oleva integraali on \(f\):n kuvaajan ja \(xy\)-tason välisen joukon \(T\) tilavuus:
\[v(T)=\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy.\]
Tarkastellaan integroimisjärjestystä
(4)\[\int_a^b\int_c^df(x,y)\,dy\,dx\]
(toinen järjestys vastaavasti). Kun \(x\in[a,b]\), niin (4):n sisempi integraali on reaaliluku. Voidaan siis määritellä funktio
\[A\colon[a,b]\to\R,\ A(x)=\int_c^df(x,y)\,dy,\]
jolloin (4) tulee muotoon
\[\int_a^bA(x)\,dx.\]
Geometrisesti \(A(x)\) on sen \(x\)-akselia vastaan kohtisuoran tason, joka leikkaa \(x\)-akselin pisteessä \(x\), ja joukon \(T\) leikkausjoukon pinta-ala. Yksiulotteisen integraalin määritelmän 7.1.1 mukaan
\[\int_a^bA(x)\,dx\approx \sum_{i=1}^mA(x_i^*)\Delta x_i.\]
Tämän Riemannin summan termit voidaan tulkita niin, että kerrotaan \(T\):n sen poikkileikkauksen (viipaleen), jossa \(x=x_i^*\), pinta-ala \(A(x_i^*)\) viipaleen paksuudella \(\Delta x_i\). Summa siis approksimoi tilavuutta \(v(T)\), ja rajalla \(|P|\to0\) saadaan
\[v(T)=\int_a^bA(x)\,dx.\qedhere\]
Tämän geometrisen tulkinnan vuoksi lauseen menetelmästä käytetään nimitystä viipalointiperiaate.
Käytännössä: (4):ssa sisempänä integroidaan \(y\):n suhteen pitäen \(x\):ää vakiona ja sen jälkeen tämän integroinnin tulos integroidaan \(x\):n suhteen. Tätä havainnollistetaan vasemmanpuoleisessa kuvassa. Vastaavalla tavoin voidaan käyttää päinvastaista järjestystä
\[\int_c^d\int_a^bf(x,y)\,dx\,dy,\]
ks. oikeanpuoleinen kuva.
Esimerkki 7.2.3
Olkoon \(f(x,y)=x^2+y\).
a) Arvioi integraalia
\[I=\iint_R(x^2+y)\,dx\,dy\]
joukossa \(R=[0,1]\times[0,2]\) Riemannin summalla jakamalla \(R\) kummassakin suunnassa kahteen osaan ja käyttämällä pisteinä \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) osasuorakulmioiden keskipisteitä.
b) Laske integraali \(I\).
Piilota/näytä ratkaisu
a) Kunkin osasuorakulmion pinta-ala on \(\Delta x_i\,\Delta y_j=\dfrac12\cdot1=\dfrac12\), joten (piirrä kuva!)
\[\begin{split}\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j
=f(x_{11}^*,y_{11}^*)\,\Delta x_1\,\Delta y_1+f(x_{12}^*,y_{12}^*)\,\Delta x_1\,\Delta y_2\\
&\qquad+f(x_{21}^*,y_{21}^*)\,\Delta x_2\,\Delta y_1+f(x_{22}^*,y_{22}^*)\,\Delta x_2\,\Delta y_2\\
&=f\left(\tfrac14,\tfrac12\right)\cdot\tfrac12+f\left(\tfrac14,\tfrac32\right)\cdot\tfrac12+f\left(\tfrac34,\tfrac12\right)\cdot\tfrac12+f\left(\tfrac34,\tfrac32\right)\cdot\tfrac12=2{,}625.
\end{aligned}\end{split}\]
b) Käytetään lausetta 7.2.2:
\[\begin{split}\begin{aligned}
I&=\int_0^1\int_0^2(x^2+y)\,dy\,dx
=\int_0^1\sij{0}{2}\left(x^2y+\tfrac12y^2\right)\,dx\\
&=\int_0^1\left(2x^2+2\right)\,dx
=\sij{0}{1}\left(\tfrac23x^3+2x\right)
=\tfrac83\approx2{,}67.
\end{aligned}\end{split}\]
Kokeile myös integroimisjärjestystä
\[\int_0^2\int_0^1(x^2+y)\,dx\,dy.\]
Huomautus 7.2.4
Jos sisäkkäisillä integraaleilla on vakiorajat ja integroitava funktio voidaan separoida muotoon \(f(x,y)=g(x)h(y)\), niin
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_a^b\int_c^df(x,y)\,dy\,dx
&=\int_a^bg(x)\underbrace{\left(\int_c^dh(y)\,dy\right)}_{\text{vakio}}\,dx\\
&=\left(\int_c^dh(y)\,dy\right)\left(\int_a^bg(x)\,dx\right).
\end{aligned}\end{split}\]
Tämä nopeuttaa usein laskemista.
Esimerkki 7.2.5
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int_0^1\int_0^2xy^2\,dx\,dy
&=\left(\int_0^2x\,dx\right)\left(\int_0^1y^2\,dy\right)\\
&=\left(\sij{0}{2}\frac{x^2}{2}\right)\left(\sij{0}{1}\frac{y^3}{3}\right)
=2\cdot\frac13=\frac23.
\end{aligned}\end{split}\]