\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Vektoriarvoinen funktio¶

Vektoriarvoinen funktio eli kuvaus (mapping) \(F\colon\R^n\to\R^m\), \(m>1\), kuvaa alkion \(\bx\in\R^n\) alkioksi \(F(\bx)\in\R^m\). Merkitään

(1)¶\[\begin{aligned} F(\bx)=(f_1(\bx),f_2(\bx),\ldots,f_m(\bx)). \end{aligned}\]

Reaaliarvoiset funktiot \(f_1,f_2,\ldots,f_m\colon\R^n\to\R\) ovat \(F\):n koordinaattifunktioita (komponenttifunktioita).

Esimerkki 5.1.1

Kuvaus \(F\colon\R^2\to\R^2\), \(F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\) on napakoordinaattikuvaus, joka ilmoittaa napakoordinaateissa \((r,\theta)\) annetun pisteen \(xy\)-koordinaateissa \(x=x(r,\theta)=r\cos\theta\) ja \(y=y(r,\theta)=r\sin\theta\).

Jos \(n\) ja \(m\le3\), saattaa funktion \(F\colon\R^n\to\R^m\) käyttäytymisen havainnollistaminen olla mahdollista kuvan avulla. Esimerkiksi jos \(F\colon\R^2\to\R^2\), voi sopivien käyrien \(C\) ja niitä vastaavien kuvajoukkojen \(F(C)\) piirtäminen auttaa. Esimerkin 1.2 kuvissa määrittelyjoukko \(\R^2\) on piirretty \(xy\)-avaruutena ja maalijoukko \(\R^2\) \(uv\)-avaruutena.

Esimerkki 5.1.2

a) Olkoon \(F\colon\R^2\to\R^2\), \(F(x,y)=(2x,y)\). Kukin origokeskinen ympyrä kuvautuu origokeskiseksi ellipsiksi. Itse asiassa \(F\) on lineaarikuvaus, joka venyttää \(x\)-suunnassa. Katso lisää esimerkkejä venyttävistä, kutistavista, kiertävistä ja vinouttavista lineaarikuvauksista \(\R^2\to\R^2\) ja \(\R^3\to\R^3\) opintojaksolta Vektorit ja matriisit.

b) Olkoon \(F\colon\R^2\to\R^2\), \(F(x,y)=(x,x^2y)\). Kukin suora \(y=c\) kuvautuu käyräksi \(y=cx^2\). Voidaan ajatella, että joukossa \(\{(x,y)\in\R^2:\ -1<x<1\}\) kuvaus puristaa kohti \(x\)-akselia ja joukossa \(\{(x,y)\in\R^2:\ x<-1\) tai \(x>1\}\) kuvaus venyttää poispäin \(x\)-akselista.

Tapauksissa \(F\colon\R^2\to\R^2\) ja \(F\colon\R^3\to\R^3\) \(F\) voidaan tulkita vektorikentäksi, jota voidaan havainnollistaa piirtämällä sopivin välein pisteisiin \(\bx\) vektorit \(F(\bx)\). Vektorikenttiä tutkitaan tarkemmin opintojaksolla Vektorianalyysi.

Esimerkki 5.1.3

Piirrä kuva vektorikentästä

a) \(F(x,y)=(-y,x)\),

b) negatiivisen pistevarauksen sähkökentästä \(E(\bx)=-c\bigfrac{\bx}{\|\bx\|^3}\) (\(c>0\)).

Piilota/näytä ratkaisu

a) Lasketaan \(F\):n arvot esimerkiksi pisteissä \((1,1)\), \((1,2)\), \((2,1)\) ja \((2,2)\) ja piirretään kuvavektorit ko. pisteisiin:

Kentän \(F\) piirtämiseksi tarkemmin (vasemmanpuoleinen kuva alla) on laskettu enemmän pisteitä ja skaalattu luettavuuden parantamiseksi kuvavektoreita kertoimella \(0{,}5\). Kenttä voisi olla esimerkiksi vastapäivään origon ympäri tapahtuvan tasaisen pyörimisliikkeen nopeuskenttä.

b) Muokataan kentän lauseketta:

\[E(\bx)=-c\frac{\bx}{\|\bx\|^3} =-\frac{c}{\|\bx\|^2}\frac{\bx}{\|\bx\|}.\]

Tässä vektori \(\bx/\|\bx\|\) on ykkösen mittainen ja osoittaa origosta poispäin. Kuvavektoreiden \(E(\bx)\) pituus eli kentän voimakkuus on

\[\|E(\bx)\|=\left\|-\frac{c}{\|\bx\|^2}\frac{\bx}{\|\bx\|}\right\| =\left|-\frac{c}{\|\bx\|^2}\right|\left\|\frac{\bx}{\|\bx\|}\right\| =\frac{c}{\|\bx\|^2}.\]

Tässä käytettiin normin ominaisuutta \(\|a\bv\|=|a|\|\bv\|\) [poole]. Kerroin \(c/\|\bx\|^2\) kertoo siis, että kentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden \(\|\bx\|\) neliöön. Miinusmerkki kääntää vektorit kohti origoa. Kenttää \(E\colon\R^3\to\R^3\) kuvataan oikeanpuoleisessa kuvassa.