\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Gaussin lause¶

(Carl Friedrich Gauss)

Gaussin lause antaa yhteyden avaruus- ja pintaintegraalin välillä. Samaan tapaan kuin aikaisemmin kaksiulotteisen Greenin kaavan kohdalla voidaan säännöllinen joukko \(D\subset\R^3\) jakaa äärelliseen määrään projisoituvia (tai yksinkertaisia) osia, joissa avaruusintegraalit voidaan laskea missä järjestyksessä tahansa.

Lause 8.3.1 (Gaussin lause eli divergenssilause)

Olkoon \(D\subset{\bf R}^3\) suljettu ja rajoitettu säännöllinen joukko, jonka reuna \(\partial D\) koostuu äärellisestä määrästä suunnattuja kolmioituja pintoja. Tällöin

\[\iiint_D \nabla \cdot {\bf F}\, dV = \iint_{\partial D} {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS,\]

kun \({\bf n}\) on joukosta \(D\) ulospäin osoittava reunan \(\partial D\) yksikkönormaali.

Tässä tilanteessa reunan \(\partial D\) osat ovat umpinaisia pintoja, joten pintaintegraalissa voidaan käyttää myös silmukkamerkintää

\[\oiint_{\partial D} {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS\]

Vektorikentän \(\mathbf{F}\) täytyy olla (paloittain) jatkuvasti derivoituva myös joukon \(D\) reunalla, koska muuten kaavan vasemmalla puolella päädytään epäoleellisiin avaruusintegraaleihin, ja tilanne monimutkaistuu.

Huomautus 8.3.2

Kun Gaussin lausetta sovelletaan \(\mathbf{x}\)-keskiseen \(r\)-säteiseen palloympäristöön \(B(r)= B(\mathbf{x},r)\), jonka reuna on pallopinta \(S(r)=S(\mathbf{x},r)\), niin saadaan

\[\iiint_{B(r)} \nabla \cdot {\bf F}\, dV = \iint_{S(r)} {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS \Rightarrow \frac{1}{V(r)}\iiint_{B(r)} \nabla \cdot {\bf F}\, dV = \frac{1}{V(r)} \iint_{S(r)} {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS.\]

Tässä \(V(r)\) on palloympäristön tilavuus. Kun \(r\to 0+\), niin vasemman puolen keskiarvointegraali lähestyy (jatkuvan funktion tapauksessa) integroitavan funktion arvoa pallon keskipisteessä, eli lukua \((\nabla\cdot \mathbf{F}) (\mathbf{x})\). Näin ollen kaava

\[(\nabla\cdot \mathbf{F}) (\mathbf{x}) =\lim_{r\to 0+} \frac{1}{V(r)} \iint_{S(\mathbf{x},r)} {\bf F}\cdot {\bf n} \, dS\]

antaa vektorikentän lähteisyydelle vaihtoehtoisen määritelmän, joka ei sisällä lainkaan osittaisderivaattoja ja liittyy suoraviivaisemmin vektorikentän vuohon (Vaikka esimerkiksi englanninkielinen Wikipedia käyttää tätä määritelmää, niin en itse siitä erityisemmin pidä. Sen avulla lähteisyyden laskeminen on hankalaa ennen kuin johdetaan erikseen tällä kurssilla käytetty osittaisderivaattakaava.). Palloympäristöjen sijasta voidaan käyttää muitakin kappaleita kuten särmiöitä, jotka kutistuvat pisteeseen \(\mathbf{x}\).

Esimerkki 8.3.3

Tarkistetaan esimerkin 8.1.7 lasku käyttämällä Gaussin lausetta. Koska \(\mathbf{F}(x,y,z)=y\bi-x\bj+z\bk\), niin

\[\nabla\cdot \mathbf{F} = \frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} = 1.\]

Kysytty vuointegraali on Gaussin lauseen ja pallon tilavuuskaavan mukaan sama kuin

\[\iiint_D \nabla\cdot \mathbf{F}\, dV = \iiint_D 1 \, dV = \frac12\cdot \frac{4\pi}{3}\cdot 2^3 =\frac{16\pi}{3},\]

joka on sama tulos kuin aikaisemmin.

Lasketaan vielä toinen esimerkki harjoitteluna Gaussin lauseessa esiintyvistä integraaleista. Se on myös hyödyllinen johdattelu Gaussin lauseen todistukseen, joka esitetään oheislukemisena alla.

Esimerkki 8.3.4

Laske molemmat Gaussin lauseessa esiintyvät integraalit, kun

\[\mathbf{F}(x,y,z)=xy\,\bi+yz\,\bj+z\,\bk\]

ja \(D\subset \R^3\) on sylinteri

\[D=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2\le 1,\ 0\le z\le 2\},\]

jonka pohdan säde on yksi ja korkeus 2.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska \(\nabla\cdot \mathbf{F}=y+z+1\), niin

\[\iiint_D \nabla\cdot \mathbf{F}\, dV = \iiint_D (y+z+1)\, dV = \iiint_D y\, dV+\iiint_D z\, dV + \iiint_D 1\, dV.\]

Näistä ensimmäinen integraali on symmetrian ja funktion \(f(x,y,z)=y\) parittomuuden vuoksi nolla (vrt. keskiön \(y\)-koordinaatti), ja viimeinen on sylinterin tilavuus \(Ah= \pi\cdot 1^2\cdot 2 =2\pi\). Toisen integraalin arvo on

\[\iiint_D z\, dV = \pi\cdot 1^2\int_0^2 z\, dz = 2\pi,\]

joten yhteensä tilavuusintegraaliksi saadaan \(4\pi\).

Sama tulos täytyy tulla myös vuointegraalista, mutta tarkistetaan asia laskemalla. Sylinterin reuna jakaantuu kolmeen osaan:

\[\partial D = P_1\cup P_2 \cup P_3,\]

eli kansi, pohja ja vaippa. Vuointegraalit täytyy laskea erikseen jokaisen osan läpi. Tilanteesta kannattaa piirtää kuvio, jonka perusteella yksikköulkonormaalit voidaan päätellä suoraan ilman parametrisointeja tms.

Kannella \(P_1\) on \(\mathbf{n}_1=\bk\), pohjalla \(P_2\) on \(\mathbf{n}_2=-\bk\) ja sylinterin vaipalla \(P_3\) on \(\mathbf{n}_3=x\,\bi+y\,\bj\), sillä kyseessä on sylinterikoordinaatiston ensimmäinen yksikkövektori ja sylinterin säde on \(x^2+y^2=1\). Lasketaan aluksi pistetulot reunan eri osilla:

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} P_1 &\colon& \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}_1 = (xy\,\bi+yz\,\bj+z\,\bk)\cdot\bk=z = 2,\nonumber\\ P_2 &\colon& \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}_2 = (xy\,\bi+yz\,\bj+z\,\bk)\cdot (-\bk)=-z = 0,\nonumber\\ P_3 &\colon& \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}_3 = (xy\,\bi+yz\,\bj+z\,\bk)\cdot (x\,\bi+y\,\bj) =x^2y+y^2z.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Näiden perusteella saadaan

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \iint_{P_1} {\bf F}\cdot {\bf n}_1 \, dS &=& 2\cdot \pi\cdot 1^2 = 2\pi,\nonumber\\ \iint_{P_2} {\bf F}\cdot {\bf n}_2 \, dS &=& 0,\nonumber\\ \iint_{P_3} {\bf F}\cdot {\bf n}_3 \, dS &=& = \iint_{P_3} (x^2y+y^2z) \, dS = \iint_{P_3} y^2z \, dS\nonumber \end{array}\end{split}\]

lausekkeen \(x^2y\) parittomuuden vuoksi (muuttujan \(y\) suhteen). Yleisesti \(R\)-säteisen sylinterin pinnalla on \(x=R\cos\theta\) ja \(y=R\sin\theta\), joten \(y^2z=z\sin^2\theta\). Lisäksi \(dS= R\, d\theta\, dz\), joten

\[\iint_{P_3} y^2z \, dS = \int_0^{2\pi}\int_0^2 z \sin^2\theta\, dz\, d\theta = 2\pi.\]

Kaikki kolme reunan osaa tuottavat siis yhteensä vuon \(2\pi+0+2\pi=4\pi\), kuten pitääkin.

Seuraavan geometrisen sovelluksen perustelu jätetään harjoitustehtäväksi.

Esimerkki 8.3.5

Umpinainen itseään leikkaamaton käyrä origokeskisen \(R\)-säteisen pallon pinnalla rajaa pinnan \(P\), jonka pinta-ala on \(A\). Kaikki pinnan \(P\) pisteet yhdistetään janalla origoon, jolloin syntyy kolmiulotteinen kappale \(D\). Osoita, että joukon \(D\) tilavuus on muotoa (Vertaa kartion tilavuuden kaavaan \(V=Ah/3\). Ainakin pallokalotin tapauksessa vastaavaa kappaletta kutsutaan pallosektoriksi.)

\[V= \frac13 AR.\]

Tapa 1: Sovella Gaussin lausetta paikkavektorikenttään

\[\mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{r}=x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}.\]

Huomaa, että \(\mathbf{F}\) on kohtisuorassa pallosektorin vaippaa vastaan ja vuo pinnan \(P\) läpi voidaan päätellä helposti, koska \(\mathbf{n}=\mathbf{e}_r=\frac{\mathbf{r}}{R}\).

b) Tapa 2: Tarkista, että sama tulos saadaan periaatteella ”kappaleen tilavuuden suhde koko pallon tilavuuteen on sama kuin pinnan pinta-alan suhde koko pallon pinta-alaan”.

Gaussin lauseen avulla voidaan johtaa myös yleisempi tulos.

Esimerkki 8.3.6

Osoita, että umpinaisen (ja riittävän säännöllisen) joukossa \(\Omega \subset\R^2\) parametrisoidun pinnan \(P\) rajaaman kappaleen tilavuus on muotoa

\[V=\frac{1}{3}\iint_{\Omega} \mathbf{r} \cdot (\mathbf{r} _u \times \mathbf{r} _v)\, du\, dv.\]

Piilota/näytä ratkaisu

Harjoitustehtävä.

Gaussin lausetta sovelletaan myös monien fysikaalisten ilmiöiden tutkimisessa. Ensimmäisenä esimerkkinä tarkastellaan kappaleen lämpötilaa.

Esimerkki 8.3.7

Olkoon \(u\) kolmiulotteisen kappaleen \(K\subset\R^3\) lämpötilakenttä. Funktion arvo \(u(x,y,z,t)\) on pisteen \((x,y,z)\in K\) lämpötila hetkellä \(t\). Fourier’n lämmönjohtumislain (heat conduction) mukaan lämpövirta kappaleen sisällä saadaan vektorikentästä

\[\mathbf{q}=-k\nabla u,\]

jossa \(k>0\) on lämmönjohtavuus ja \(\nabla\)-osittaisderivaatat lasketaan vain paikkamuuttujien suhteen. Jos kappaleen reunalle \(\partial K\) muodostetaan (keinotekoisesti) tietty staattinen eli ajasta riippumaton lämpötilajakauma (jonka ei tarvitse olla vakio), niin kappaleen lämpötila asettuu ennen pitkään staattiseen (equilibrium) tasapainotilaan

\[U(x,y,z)=\lim_{t\to\infty}u(x,y,z,t),\ (x,y,z)\in K.\]

Staattisessa tilanteessa lämpövirta ei ole nolla, sillä tietyn jakauman ylläpito vaatii jatkuvaa lämmön virtausta (paitsi vakiolämpötilan tapauksessa). Sen sijaan lämpövirran vuo minkä tahansa kuvitteellisen osan \(D\subset K\) reunan \(\partial D\) läpi on nolla, koska muuten lämpöenergiaa joko häviää osasta \(D\) tai se lisääntyy. Jos oletetaan, että \(k\) on vakio (homogeeninen materiaali), niin Gaussin lauseen avulla saadaan

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} 0 &=& \iint_{\partial D} \mathbf{q}\cdot\mathbf{n}\, dS = -k\iint_{\partial D} \nabla U \cdot\mathbf{n}\, dS \nonumber\\ &=& -k\iiint_D \nabla\cdot \nabla U\, dV = -k\iiint_D \Delta U\, dV.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Koska \(D\) voi olla mikä tahansa osa kappaleen \(K\) sisällä, esimerkiksi pieni pallo tai laatikko, niin ainoa mahdollisuus on se, että \(\Delta U=0\) kaikkialla kappaleen \(K\) sisällä (Vastaava yksiulotteinen tulos on seuraava: Jos \(f\colon \R\to\R\) on jatkuva funktio ja \(\int_a^bf(x)\, dx = 0\) jokaisella välillä \([a,b]\), niin \(f(x)=0\) kaikilla \(x\in\R\).). Staattinen lämpötilajauma toteuttaa siis Laplace-yhtälön \(\Delta U =0\).

Staattinen kaksiulotteinen lämpötilajakauma, kun suorakulmion vasen sivu pidetään lämpötilassa 100 \(^{\circ}\)C ja muut kolme sivua lämpötilassa 0 \(^{\circ}\)C. Numeerinen ratkaisu Matlabilla (\(50\times 50 =\) 2500 yhtälöä ja tuntematonta), mutta tässä symmetrisessä tilanteessa myös ratkaisun lauseke saadaan ns. Fourier-sarjojen avulla.

Toisena sovellusesimerkkinä käsitellään Gaussin lauseen sovellusta kaasun tai nesteen virtauskenttään.

Esimerkki 8.3.8

Olkoon \(\mathbf{v}(x,y,z,t)\) nesteen tai kaasun virtauskenttä, (fluid flow) yksinkertaisuuden vuoksi koko avaruudessa \((x,y,z)\in\R^3\). Virtauskentän arvo on siis hetkellä \(t\) pisteessä \((x,y,z)\) olevan hiukkasen nopeusvektori. Olkoon \(D\) kuvitteellinen paikallaan pysyvä kappale (esimerkiksi pallo tai laatikko) virtauksen sisällä, joka ei estä virtausta mitenkään. Hetkellä \(t\) kappaleen \(D\) sisällä olevan kaasun/nesteen massa

\[m=m(t)= \iiint_D \rho(x,y,z,t)\, dV\]

voi muuttua vain aineen virratessa sen reunan \(\partial D\) läpi, ts. lyhyellä aikavälillä massan muutos joukossa \(D\) on

\[\Delta m \approx \left( -\oiint_{\partial D}\rho \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\, dS\right)\Delta t,\]

eli

\[\frac{\Delta m}{\Delta t} \approx -\oiint_{\partial D}\rho \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\, dS,\]

josta rajalla \(\Delta t \to 0\) saadaan

\[\frac{ dm}{dt} = -\oiint_{\partial D}\rho \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\, dS =-\iiint_D\nabla\cdot (\rho\mathbf{v})\, dV\]

Gaussin lauseen avulla. Toisaalta

\[\frac{dm}{dt}= \frac{ d}{dt} \iiint_D \rho(x,y,z,t)\, dV =\iiint_D \frac{\partial \rho}{\partial t}\, dV,\]

joten yhdistämällä tulokset saadaan

\[\iiint_D \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot (\rho\mathbf{v})\right) dV=0.\]

Tämä pätee kaikille kuvitteellisille kappaleille \(D\), joten ainoa mahdollisuus on se, että integroitava funktio on identtisesti nolla; vrt. päättely edellisen esimerkin lopussa. Näin saadaan virtaukseen liittyvä jatkuvuusyhtälö (continuity equation)

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} +\nabla\cdot (\rho\mathbf{v})=0.\]

Jos kyseessä on kokoonpuristumaton neste (incompressible flow), niin \(\rho\) on vakio,: ja yhtälö tulee muotoon \(\nabla\cdot \mathbf{v}=0\). Tätä voidaan pitää kokoonpuristumattoman nesteen matemaattisena määritelmänä virtauskentän avulla lausuttuna.

Edellinen esimerkki antaa myös perustelun termille ”lähteisyys”, sillä kokoonpuristumattomassa virtauksessa vektorikenttää ei ”synny lisää”eikä ”häviä pois”missään kohdassa, ja kaavan mukaan lähteisyys \(\nabla\cdot \mathbf{v}\) on silloin nolla.

Oheislukemista:

Piilota/näytä todistus

Gaussin lauseen todistus (tai ainakin tärkeimmät välivaiheet).

Vaihe 1: Oletetaan, että kaava on todistettu projisoituville joukoille. Olkoon

\[D=\bigcup_{k=1}^nD_k\]

säännöllisen joukon \(D\) esitys projisoituvien osien avulla. Voidaan olettaa, että leikkaukset \(D_i\cap D_j\) ovat joko tyhjiä tai sileitä pintoja, jolloin niiden leikkauspinnalla ulkonormaaleille on voimassa \(\mathbf{n_j}=-\mathbf{n_i}\). Tästä seuraa, että

\[\oiint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS = \sum_{k=1}^n\oiint_{\partial D_k}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS,\]

sillä summassa eri osien leikkauspintoja pitkin lasketut pintaintegraalit kumoavat toisensa, ja jäljelle jää vain alkuperäistä reunaa \(\partial D\) pitkin laskettu vuo.

Leikkauspinnalla yksikköulkonormaalit ovat vastakkaiset.

Myös avaruusintegraali summautuu samalla tavalla, eli

\[\iiint_{D}\nabla \cdot \mathbf{F}\, dV = \sum_{k=1}^n\iiint_{D_k}\nabla \cdot \mathbf{F}\, dV,\]

joten väite seuraa säännölliselle joukolle \(D\).

Vaihe 2: Todistetaan väite projisoituvalle joukolle \(D\). Esitetään \(D\) muodossa

\[D=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid (x,y)\in U\subset\R^2,\ u(x,y)\le z\le v(x,y)\},\]

ts. sitä rajaa \(xy\)-tason alueen \(U\) kohdalla määritelty alapinta \(z=u(x,y)\) ja yläpinta \(z=v(x,y)\). Lausekkeen \(\nabla\cdot \mathbf{F}\) viimeisen komponentin \(\frac{\partial F_3}{\partial z}\) avaruusintegraali voidaan nyt laskea tämän esityksen avulla:

(1)¶\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \iiint_{D}\frac{\partial F_3}{\partial z}\, dV &=&\iint_U\left( \int_{u(x,y)}^{v(x,y)}\frac{\partial F_3}{\partial z}\, dz\right) dA\nonumber\\ &=& \iint_U (F_3(x,y,v(x,y))-F_3(x,y,u(x,y)))\, dA. \end{array}\end{split}\]

Tarkoituksena on osoittaa, että tämä on sama kuin

(2)¶\[ \oiint_{\partial D}(F_3\mathbf{k})\cdot \mathbf{n}\, dS.\]

Kun kaksi muuta komponenttia \(F_1\bi\) ja \(F_2\bj\) käsitellään samalla tavalla (Gaussin lause on Stokesin lausetta yksinkertaisempi siinä mielessä, että vektorikentän \(\mathbf{F}\) koordinaattifunktiot eivät ”sekoitu toisiinsa”ja kaava voidaan todistaa yhdelle komponentille kerrallaan.) integroimalla aluksi muuttujan \(x\) tai \(y\) suhteen, niin väite tulee todistetuksi. Tässä kohdassa tarvitaan joukon \(D\) projisoituvuutta, jotta samassa joukossa \(D\) voidaan käyttää kaikkia kolmea eri integroimisjärjestystä.

Joukon \(D\) reuna jakaantuu kolmeen osaan \(\partial D = P_1\cup P_2\cup P_3\), jossa \(P_1\) on ”vaippa”, \(P_2\) on ”kansi”ja \(P_3\) ”pohja”.

Pinnan \(P_1\) normaali \(\mathbf{n}_1\) on vaakasuora, joten \(F_3\bk\cdot \mathbf{n}_1=0\). Pinta \(P_1\) ei siis vaikuta vuohon (2) ollenkaan. Yläpinnalla \(P_2\colon z=v(x,y)\) täytyy käyttää funktion kuvapinnan ylänormaalia ja aikaisemmin todettua yhtälöä (1), joten

\[\mathbf{n}_2\, dS = \mathbf{N}_2\, dA =(-v_x\bi-v_y\bj+\bk)\, dA\]

ja edelleen

\[(F_3\mathbf{k})\cdot \mathbf{n}_2\, dS = F_3\, dA= F_3(x,y,v(x,y))\, dA,\]

sillä pinnalla \(P_2\) sijoitetaan lopuksi \(z=v(x,y)\). Näin ollen

\[\iint_{P_2}(F_3\mathbf{k})\cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_U F_3(x,y,v(x,y))\, dA,\]

joka on sama kuin lausekkeen (1) ensimmäinen integraali. Alapinnalla \(P_3\colon z=u(x,y)\) joukon \(D\) ulkonormaalina on funktion kuvapinnan alanormaali \(\mathbf{N}_3=u_x\bi+u_y\bj-\bk\), jonka avulla saadaan samaan tapaan

\[\iint_{P_3}(F_3\mathbf{k})\cdot \mathbf{n}\, dS = - \iint_U F_3(x,y,u(x,y))\, dA,\]

joka on sama kuin lausekkeen (1) jälkimmäinen integraali.

Lause on siis kokonaan todistettu.
Gaussin lauseen muita versioita:

\[\iiint_D(\nabla \times \mathbf{F})\, dV = \iint_{\partial D} (\mathbf{n}\times{\bf F}) \, dS\]

vektorikentälle \(\mathbf{F}\) ja

(3)¶\[\iiint_D \nabla u \, dV = \iint_{\partial D} u\, \mathbf{n} \, dS\]

skalaarikentälle \(u\). Näissä kaavoissa vektorikentän avaruus- ja pintaintegraalit lasketaan integroimalla koordinaateittain, esimerkiksi

\[\iiint_D \nabla u \, dV = \left(\iiint_D u_x\, dV\right) \mathbf{i}+ \left(\iiint_D u_y\, dV\right) \mathbf{j}+ \left(\iiint_D u_z\, dV\right) \mathbf{k}.\]

Ensimmäinen kaava perustellaan soveltamalla Gaussin lausetta vektorikenttään \(\mathbf{F}\times \mathbf{c}\), kun \(\mathbf{c}\) on vakiovektori, ja käyttämällä nabla-kaavaa (myöhemmin!)

\[\nabla\cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{c}) = (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{c} - \mathbf{F}\cdot (\nabla \times \mathbf{c}) = (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{c}\]

ja skalaarikolmitulon ominaisuutta

\[(\mathbf{F}\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{n} = (\mathbf{n}\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{c}.\]

Väite seuraa yksi komponentti kerrallaan valitsemalla vakiovektoriksi \(\mathbf{c}=\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) tai \(\mathbf{k}\).

Toisen kaavan kohdalla valitaan \(\mathbf{F}=u \, \mathbf{c}\) ja sijoitetaan lopuksi \(\mathbf{c}=\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) tai \(\mathbf{k}\) vuorotellen.

Lisäksi täytyy huomata, että vakiovektorille \(\mathbf{c}\) pätee aina

\[\iiint_D \mathbf{G}\cdot \mathbf{c} \, dV = \left(\iiint_D \mathbf{G}\, dV\right)\cdot \mathbf{c},\]

ja samoin pintaintegraaleissa.
Gaussin lauseen avulla voidaan myös johtaa Greenin kaavat avaruudessa. Niillä on paljon sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa, mutta aihe sivuutetaan tällä kurssilla. (Mahdollinen harjoitustehtävä?)

Esimerkki 8.3.9

Arkhimedeen lain yleinen muoto seuraa Gaussin lauseen jälkimmäisestä vektorimuotoisesta yhtälöstä (3) seuraavalla tavalla. Tarkastellaan nesteeseen upotettua kappaletta \(A\), jota rajoittaa vain yksi umpinainen ulkopinta. Valitaan \(xy\)-taso nesteen pinnalle ja \(z\)-koordinaatiston positiivinen suunta alaspäin. Tällöin paine kasvaa lineaarisesti syvyyden \(z\) suhteen muodossa \(p(x,y,z)=\rho gz\), kun \(\rho\) on nesteen tiheys ja \(g\) painovoiman kiihtyvyys. Kappaleeseen \(A\) kohdistuva voima vaikuttaa jokaisessa pinnan pisteessä kohtisuoraan sisäänpäin eli suuntaan \(-\mathbf{n}\), ja pieneen pinta-alkioon \(\Delta S\) kohdistuvan voiman suuruus on \(\Delta F \approx p\cdot \Delta S\). Kappaleeseen \(A\) vaikuttava kokonaisvoima (eli noste) saadaan kaavan (3) avulla muotoon

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \mathbf{F} &=& -\oiint_{\partial A}p\,\mathbf{n}\, dS = -\iiint_A \nabla p\, dV = -g\iiint_A\rho\, \bk\, dV = -g\left(\iiint_A\rho\, dV\right) \bk\nonumber\\ &=& -mg\bk.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Noste on siis suuruudeltaan sama kuin kappaleen \(A\) syrjäyttämän nestemäärän paino.