\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Metrisiä ja topologisia käsitteitä¶

Seuraavat käsitteet voidaan määritellä paljon yleisemminkin, mutta tällä kurssilla kaikki joukot ovat \(n\)-ulotteisen avaruuden \(\mathbf{R}^n\) osajoukkoja.

Etäisyys: (distance) Pisteiden \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbf{R}^n\) ja \(\mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)\in \mathbf{R}^n\) välinen etäisyys on

\[\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\| =\sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2}.\]

Merkintä perustuu etäisyyden tulkintaan paikkavektoreiden erotusvektorin pituutena, ja kaava voidaan ”johtaa”soveltamalla Pythagoraan lausetta yksi ulottuvuus kerrallaan. Esimerkiksi kolmiulotteinen tapaus saadaan suorakulmaisesta apukolmiosta, jonka kärjet ovat pisteissä \((x_1,x_2,x_3)\), \((y_1,y_2,x_3)\) ja \((y_1,y_2,y_3)\). Etäisyyttä merkitään joskus \(| \mathbf{x}-\mathbf{y}|\), joka eroaa itseisarvomerkinnästä vain asiayhteyden perusteella.
Kaksi- ja kolmiulotteisessa tapauksessa merkitään usein \(x=x_1\), \(y=x_2\) ja \(z=x_3\), mutta nämä ovat hankalia yleisten kaavojen kuten (2) tapauksessa.
Avoin umpinainen pallo (eli kuula) tai avoin palloympäristö: (open ball) Jos \(\mathbf{x}\in \mathbf{R}^n\) ja \(r>0\), niin joukko

\[B(\mathbf{x},r) = \{ \mathbf{y}\in \mathbf{R}^n \mid\, \| \mathbf{y}-\mathbf{x}\| <r\}\]

on \(\mathbf{x}\)-keskinen \(r\)-säteinen avoin (ja umpinainen) pallo. Toisin kuin englannin kielessä, suomessa ei ole eri sanoja käsitteille ’ball’ ja ’sphere’, minkä vuoksi jotkut käyttävät umpinaiselle pallolle nimitystä kuula tai palloympäristö.
Pallo (tai pallopinta): (sphere) Jos \(\mathbf{x}\in \mathbf{R}^n\) ja \(r>0\), niin joukko

\[S(\mathbf{x},r) = \{ \mathbf{y}\in \mathbf{R}^n \mid\, \| \mathbf{y}-\mathbf{x}\|=r\}\]

on \(\mathbf{x}\)-keskinen \(r\)-säteinen pallo (tasossa ympyrä tai ympyrän kehä). Jos \(\mathbf{x}=\overline{0}\), niin käytetään myös merkintää \(S(r)\). Origokeskistä yksikköpalloa merkitään joskus \(\mathbf{S}^{n-1}\), esimerkiksi \(\mathbf{S}^2\subset \mathbf{R}^3\).
Avoin joukko: (open set) Avoimen joukon \(A\) jokaiselle pisteelle \(\mathbf{x}\in A\) on olemassa sellainen säde \(r>0\), että \(B(\mathbf{x},r)\subset A\).
Suljettu joukko: (closed set) Joukko \(A\) on suljettu, jos sen komplementti \(\mathbf{R}^n\setminus S\) on avoin.
Joukon reuna: Piste \(\mathbf{x}\in \mathbf{R}^n\) on joukon \(A\subset \mathbf{R}^n\) reunapiste, (boundary point) jos kaikille \(r>0\) pätee sekä \(A\cap B(\mathbf{x},r)\neq\emptyset\) että \((\mathbf{R}^n\setminus A)\cap B(\mathbf{x},r)\neq\emptyset\). Huomaa, ettei ehdon toteutumiseen vaikuta se, kuuluuko piste \(\mathbf{x}\) joukkoon \(A\) vai ei. Joukon \(A\) kaikki reunapisteet muodostavat sen reunan (boundary) \(\partial A\).

Pätee: Joukko \(A\) on avoin \(\Leftrightarrow A\cap \partial A=\emptyset\). Joukko \(S\) on suljettu \(\Leftrightarrow \partial S\subset S\).
Joukon sisäpiste: (interior point) Joukon piste, joka ei kuulu reunaan. Sisäpisteelle \(\mathbf{x}\in A\) on olemassa sellainen säde \(r>0\), että \(B(\mathbf{x},r)\subset A\). Joukko on avoin \(\Leftrightarrow\) kaikki joukon pisteet ovat sen sisäpisteitä.
Pinnan reunakäyrä: (boundary curve) Pinnan \(P\subset \mathbf{R}^3\) reunakäyrälle (tai lyhyesti reunalle) käytetään samaa merkintää \(\partial P\) kuin yleisen (topologisen) reunan tapauksessa, mutta sen määritelmä on erilainen: katso tarkemmin määritelmän ?? jälkeinen 4. kohta.