\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Nabla-kaavoja
Useissa sovelluksissa erilaisia nabla-operaatioita täytyy soveltaa funktioiden tuloon
tai kaksi kertaa peräkkäin.
Näin saadaan kokoelma nabla-kaavoja, joista osa on varsin yksinkertaisia, mutta toiset
yllättävän monimutkaisia. Kaikki kaavat voidaan todistaa alkeellisesti komponenttiesityksiä
käyttämällä, mutta se on hyvin työlästä. Kurssin lopussa esitetään nopeampi ns. indeksimerkintään
perustuva tapa, jolle on käyttöä muissakin sovelluksissa (kuten lujuusopissa ja materiaalien
mekaniikassa).
Alla on lueteltu tärkeimmät tapaukset, kun \(f\) ja \(g\) ovat kaksi kertaa
derivoituva skalaarikenttä ja \(\mathbf{F}\) ja \(\mathbf{G}\) kaksi kertaa derivoituva vektorikenttä.
Kaksi ensimmäistä kohtaa koskee pelkkiä vektoreiden laskutoimituksia.
Kaikki ristituloja sisältävät kaavat koskevat vain kolmiulotteista tapausta; muut
ovat voimassa kaikissa ulottuvuuksissa.
Vektorikolmitulon kaava: (vector triple product)
\[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}
-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}\]
Skalaarikolmitulon kiertosääntö (scalar triple product)
\[\begin{split}\left|
\begin{matrix}
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3\\
\end{matrix}
\right| =
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}),\end{split}\]
joka seuraa myös determinantin ominaisuuksista.
Tulon derivaatta -kaavat:
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla (fg) &=& g\nabla f+f\nabla g, \nonumber\\
\nabla\cdot (f\mathbf{F}) &=& (\nabla f)\cdot \mathbf{F}+f(\nabla\cdot \mathbf{F}),
\nonumber\\
\nabla\times (f\mathbf{F}) &=& (\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F}).
\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Tässä vektorikenttä \(f\mathbf{F}\) on kolmiulotteisessa tapauksessa muotoa
\[f\mathbf{F} =fF_1\,\bi+fF_2\,\bj+fF_3\,\bk.\]
Hankalammat ensimmäisen kertaluvun kaavat:
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla (\mathbf{F}\cdot \mathbf{G}) &=& \mathbf{F}\times(\nabla\times \mathbf{G})
+ \mathbf{G}\times(\nabla\times \mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot \nabla)\mathbf{G}
+(\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F}\nonumber\\
\nabla \cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G}) &=& (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G}
-\mathbf{F}\cdot (\nabla\times \mathbf{G})\nonumber\\
\nabla\times ({\bf F}\times {\bf G})&=&(\nabla\cdot {\bf G}){\bf F}
-(\nabla\cdot {\bf F}){\bf G}-({\bf F}\cdot\nabla){\bf G}+({\bf G}\cdot\nabla){\bf F}\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Helpot toisen kertaluvun kaavat (mainittiin jo yllä):
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla\cdot (\nabla f) &=& \Delta f \nonumber\\
\nabla\times \nabla f &=& \overline{0}\nonumber\\
\nabla\cdot (\nabla\times {\bf F})&=&0\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Hankalampi toisen kertaluvun kaava:
\[\begin{array}{rcl}
\nabla\times (\nabla \times \mathbf{F}) &=& \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}\nonumber
\end{array}\]
Merkintöihin \({\bf G}\cdot\nabla\) ja \(\Delta \mathbf{F}\) palataan myöhemmissä kappaleissa