\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Greenin kaava¶

(George Green 1793–1841)

Yksiulotteisessa tapauksessa funtion derivaatan integraali saadaan sijoittamalla päätepisteiden arvot funktion lausekkeeseen. Useampiulotteisissa tapauksissa tämä yleistyy niin, että funktion derivaattojen integraalit palautuvat itse funktion integrointiin joukon reunan yli. Näistä tuloksista ensimmäinen on (Green’s Theorem) Greenin kaava (Tässä käsitellään Greenin tasokaavaa, mutta on olemassa myös Greenin kaavoja avaruudessa), joka sitoo toisiinsa tasointegraalin ja sen reunaa pitkin lasketun viivaintegraalin. Muut kaksi ovat Gaussin ja Stokesin lauseet, joita käsitellään myöhemmin tällä kurssilla.

Greenin kaavan muotoilua varten tarvitaan seuraavat tasojoukkoihin liittyvät käsitteet:

Projisoituva (tai yksinkertainen) tasojoukko: (simple region) Suljettu ja rajoitettu joukko \(D\subset \mathbf{R}^2\), joka voidaan esittää kahdella eri tavalla:

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} D &=& \{ (x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\le x\le b,\ c(x)\le y\le d(x)\}\nonumber\\ &=& \{ (x,y)\in \mathbf{R}^2\mid c\le y\le d,\ a(y)\le x\le b(y)\}\nonumber \end{array}\end{split}\]

ja kaikki reunafunktiot ovat jatkuvia. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että tasointegraalit joukossa \(D\) voidaan kirjoittaa kaksinkertaisena integraalina kummassa järjestyksessä tahansa (ilman, että joukko \(D\) jaetaan pienempiin osiin).

Projisoituva joukko

Tällöin siis

\[\iint_D f\, dA = \int_a^b \left( \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\, dy\right) dx =\int_c^d \left( \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)\, dx\right) dy.\]
Säännöllinen tasojoukko \(D\subset \mathbf{R}^2\): Suljettu ja rajoitettu joukko, joka voidaan esittää äärellisenä yhdisteenä projisoituvista osista:

\[D=\bigcup_{k=1}^n D_k.\]

Lisäksi vaaditaan, että tapauksessa \(D_j\cap D_k\neq \emptyset\) kyseinen leikkaus on paloittain sileä tasokäyrä; ts. osat voivat mennä päällekkäin vain reunojen osalta.

Rengasalueen \(D\) jako projisoituviin osiin.
Tarkastellaan tasojoukkoa \(D\), jonka reuna koostuu umpinaisista (itseään leikkaamattomista) käyristä. Tietyn reunakäyrän suunta on (positive orientation) positiivinen, jos joukko \(D\) jää tähän suuntaan kuljettaessa käyrän vasemmalle puolelle.

Lause 3.4.1 (Greenin kaava)

Olkoon \(D\) säännöllinen tasojoukko, jonka umpinaisilla reunakäyrillä on paloittain säännölliset parametrisoinnit, ja \(\mathbf{F}\colon D\to \mathbf{R}^2\) vektorikenttä, jonka koordinaattifunktioiden osittaiderivaatat ovat jatkuvia (tai voidaan tulkita jatkuviksi) myös joukon reunalla \(\partial D\). Tällöin

\[\int_{\partial D} \mathbf{F}\cdot \mathbf{dr}= \int_{\partial D} F_1\, dx + F_2 \, dy = \iint_D\left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dA,\]

kun reunan \(\partial D\) jokaisen käyrän kiertosuunta on joukon \(D\) suhteen positiivinen.

Greenin kaava on erikoistapaus pinta- ja viivaintegaaleja koskevasta Stokesin lauseesta (johon palataan myöhemmin). Tällä kurssilla Greenin kaavaa käytetään Stokesin lauseen todistamiseen, joten ”Stokes \(\Rightarrow\) Green”olisi kehäpäättely.
Piilota/näytä todistus

Todistuksen välivaiheet:

(i) Jos kaava on voimassa kaikille projisoituville joukoille, niin se on voimassa myös kaikille säännöllisille joukoille \(D\). Syy: Kun \(D\) jaetaan projisoituviin osiin, niin kaavan oikean puolen tasointegraalit summautuvat yhteen ja vasemman puolen viivaintegraaleista jää jäljelle ainoastaan \(\partial D\), koska osien yhteisten reunan osien viivaintegraalit lasketaan kahteen kertaan, mutta vastakkaisiin suuntiin, jolloin ne kumoutuvat pois.

Viivaintegraalit kumoavat toisensa eri osien yhteisillä

reunakäyrillä, koska niiden suunnat ovat vastakkaiset

(ii) Kaavan todistamiseksi riittää tutkia erikseen vektorikenttiä \(F_1\mathbf{i}\) ja \(F_2\mathbf{j}\), sillä yleinen kaava saadaan laskemalla puolittain yhteen eri koordinaattifunktioita vastaavat osat.

(iii) Johdetaan kaavan \(F_1\)-osa integroimalla projisoituvassa osassa \(D\) tasointegraali ensin \(y\)-suuntaan ja sitten \(x\)-suuntaan. Olkoon siis

\[D = \{ (x,y)\in \mathbf{R}^2\mid a\le x\le b,\ c(x)\le y\le d(x)\}.\]

Tällöin

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} -\iint_D \frac{\partial F_1}{\partial y}\, dA &= & - \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} \frac{\partial F_1}{\partial y}\, dy\, dx =-\int_a^b\left( \bigg/_{\!\!\!\!\! c(x)}^{d(x)} F_1(x,y)\right) dx\nonumber\\ &=& \int_a^b F_1(x,c(x))\, dx -\int_a^b F_1 (x,d(x))\, dx \nonumber\\ &=& \int_a^b F_1(t,c(t))\, dt -\int_a^b F_1 (t,d(t))\, dt \nonumber\\ &=& \int_{\text{alareuna}} F_1\, dx+ \int_{\text{yläreuna}} F_1\, dx =\int_{\partial D} F_1\, dx;\nonumber \end{array}\end{split}\]

Toiseksi viimeisessä välivaiheessa on vaihdettu integroimismuuttujan nimeä \(x\mapsto t\), jotta tulos näyttää selvemmin parametrisoidulta viivaintegraalilta. Viimeiset yhtälöt seuraavat siitä, että positiivisen kiertosuunnan vaatimuksesta joukon \(D\) alareunalla \(x=t,\ y=c(t),\ dx=dt\) integroidaan \(x\)-akselin positiiviseen suuntaan, yläreunalla \(x=t,\ y=d(t), \ dx=dt\) puolestaan \(x\)-akselin negatiiviseen suuntaan, ja reunan \(\partial D\) (mahdollisilla) pystysuorilla osilla \(x=vakio\) on \(dx=0\), joten ne eivät vaikuta tulokseen; vertaa kuva (jossa on pieni virhe; mikä?):

(iv) Vastaavasti kaavan \(F_2\)-osa todistetaan integroimalla projisoituvassa osassa tasointegraali ensin \(x\)-suuntaan ja sitten \(y\)-suuntaan. Muuten lasku on hyvin samantapainen kuin edellisessä kohdassa.